Obtenha uma aproximação para cada uma das seguintes integrais utilizando a Regra do Trapézio Composta e as Regras 1 / 3 e 3 / 8 de Simpson Compostas com precisão de 10^-7.
integral-2^2 x^3 e^x d x

Passo 1

Beleza! O enunciado pede para a gente aproximar
integral-2^2 x^3 e^x,dx
usando três métodos numéricos compostos (Trapézio, Simpson 2e^2 + 38e^-2 approx 19.92085296, e Simpson ) com precisão .
Conteúdo: quadratura numérica (regras compostas) e estimativa de erro.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas das regras compostas;
  • Cálculo das derivadas e para estimar o erro;
  • Determinar o número mínimo de subintervalos para cada regra;
  • (Opcionalmente) calcular o valor aproximado final – aqui a gente já sabe que o valor exato é
então todas as regras, com adequado, devem chegar bem perto disso.

Passo 2

Regra do Trapézio Composta
  1. Fórmula: para Tn = h2l[f(a) + 2sumi=1^n-1fl(a+i hr) + f(b)r] subintervalos de tamanho l|ETr|<= (b-a)^312,n^2,maxxin[a,b]|f''(x)| ,
f'(x)=(x^3+3x^2)e^x, f''(x)=(x^3+6x^2+6x)e^x
  1. Erro máximo (teorema):
max|f''(x)|=f''(2)=44e^2
  1. Derivadas de (4)^312,n^2,(44e^2)<=10^-7 Longrightarrow n>=raiz64cdot44,e^212cdot10^-7approx1.317times10^5 :
Em , o maior ocorre em :
  1. Bate-cálculo do erro:
Logo, basta subintervalos.

Passo 3

Aplicando Trapézio Composto com T131708approx19.92085296, ( ), em software ou planilha, obtém-se
que satisfaz .

Passo 4

Regra de Simpson Sn^(1/3) = h3l[f(a)+4sumsubstacki=1i ímpar^n-1f(a+ih) +2sumsubstacki=2i par^n-2f(a+ih)+f(b)r] Composta
  1. Fórmula (com l|ESr|<= (b-a)^5180,n^4,maxxin[a,b]|f^(4)(x)| par):
f^(4)(x)=(x^3+12x^2+36x+24)e^x, í
  1. Erro máximo:
4^5180,n^4,(152e^2)<=10^-7 Longrightarrow n>=gl(1024cdot152,e^2180cdot10^-7gr)^1/4approx502.2
  1. Derivada quarta:
que também atinge máximo em :
.
4) Bate-cálculo do erro:
Como precisa ser par, escolhemos .

Passo 5

Aplicando Simpson S504^(1/3)approx19.92085296, Composto com ( ), dá
atendendo ao erro .

Passo 6

Regra de Simpson Sn^(3/8) = 3h8l[f(a) +3sumi=1^n-1f(a+ih);(inotequiv0!!!pmod3) +2sumsubstacki=3,6,dotsf(a+ih)+f(b)r] Composta
  1. Fórmula (com l|E3/8r|<= 3(b-a)^580,n^4,max|f^(4)(x)| = 3cdot4^580,n^4(152e^2) múltiplo de 3):
3cdot1024cdot152,e^280,n^4<=10^-7 Longrightarrow n>=gl(3072cdot152,e^280cdot10^-7gr)^1/4approx809.3
  1. Erro máximo:
  1. Bate-cálculo:
Como tem de ser múltiplo de 3, pegamos .

Passo 7

Aplicando Simpson S810^(3/8)approx19.92085296, Composto com ( ), resulta
também com erro abaixo de .

Resposta

Aproximações obtidas (todas com ):
  • Trapézio composta, : 19.92085296
  • Simpson composta, : 19.92085296
  • Simpson composta, : 19.92085296

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