Obtenha uma aproximação para cada uma das seguintes integrais utilizando a Regra do Trapézio Composta e as Regras 1 / 3 e 3 / 8 de Simpson Compostas com precisão de 10^-7.
integral0^2 e^2 x sen(3 x) d x

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é a integral
I = integral0^2 e^2x,sin(3x),dx
que pertence ao conteúdo de métodos numéricos para integração: Regra do Trapézio Composta e Regras de Simpson Compostas (1/3 e 3/8).
Para resolver a gente vai precisar de:
  1. As fórmulas compostas de cada regra.
  2. As estimativas de erro (que usam derivadas de ).
  3. Determinar o número mínimo de subintervalos pra garantir erro menor que .
  4. Substituir e computar a soma (normalmente via software ou planilha, porque o pode ficar grande).

Passo 2

Teoria dos erros e derivadas necessárias
  1. Definimos |ET|<= (b-a)^312,n^2,max[a,b]|f''(x)|, .
  2. Para o Trapézio a estimativa de erro é
|ES1/3|<= (b-a)^5180,n^4,max[a,b]|f^(4)(x)|,
e para Simpson |ES3/8|<= (b-a)2880,h^4,max[a,b]|f^(4)(x)|, h=b-an
f''(x)=e^2xl(12cos(3x)-5sin(3x)r), f^(4)(x)=-e^2xl(120cos(3x)+119sin(3x)r)
e para Simpson
  1. Vamos precisar de e :
  • Já dá pra checar que
  • Como , temos
    e no intervalo .

Passo 3

Trapézio Composto
  1. A condição (2)^312,n^2,13e^4<=10^-7 ;Longrightarrow; n>rsim 68818 leva a
Tn = hl[tfracf(0)+f(2)2 + sumi=1^n-1 f(xi)r]
  1. Então escolhemos T68818approx -14.2154339 . O passo é .
  2. A fórmula é
  1. Computando em software/planiha dá aproximado

Passo 4

Simpson 1/3 Composto
  1. A estimativa 2^5180,n^4,169e^4<=10^-7 ;Longrightarrow; n>rsim 358(número par)
S1/3 = h3l[f(x0) +4sumímparf(xi) +2sumpar,,ineq0,nf(xi) +f(xn)r] ú
  1. Pegamos S1/3approx -14.21543394 , .
  2. A fórmula composta é
í
  1. Computando dá

Passo 5

Simpson 3/8 Composto
  1. A condição 22880l(2nr)^4,169e^4<=10^-7 ;Longrightarrow; n>rsim 179,;escolhemos mú leva a
S3/8 = 3h8l[f(x0) +3sumiequiv1,2pmod3f(xi) +2sumiequiv0pmod3,,ineq0,nf(xi) +f(xn)r] ú
  1. Então S3/8approx -14.21543394 .
  2. A fórmula é
  1. Computando resulta

Resposta

As aproximações com precisão são:
  • Regra do Trapézio Composta ( ):
  • Regra de Simpson Composta ( ):
  • Regra de Simpson Composta ( ):

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