Obtenha uma aproximação para cada uma das seguintes integrais utilizando a Regra do Trapézio Composta e as Regras 1 / 3 e 3 / 8 de Simpson Compostas com precisão de 10^-7.
integral1^3 xx^2+4 d x

Passo 1

Beleza, a gente quer aproximar
I = integral1^3 xx^2+4,dx
usando três métodos compostos de precisão :
  1. Regra do Trapézio composta
  2. Regra de Simpson composta
  3. Regra de Simpson composta
Conteúdo: métodos de integração numérica composta e estimativa de erro.
O que vamos precisar:
  • Fórmulas das regras compostas
  • Cálculo das derivadas necessárias para estimar os limites de erro
  • Determinar o número de subintervalos para garantir erro

Passo 2

  1. Função
f(x)=xx^2+4
  1. Fórmula do Trapézio composta com Tn = h2l[f(x0)+2sumi=1^n-1f(xi)+f(xn)r] subintervalos |ET|<= (b-a)^312,n^2;M2, M2 = maxxin[1,3]|f''(x)| , passo f''(x)=2x,(x^2-12)(x^2+4)^3 :
M2 = l|f''(1)r| = 2cdot1,(1-12)5^3 = 22125approx0,176
  1. Erro máximo
812,n^2;0,176 <=10^-7 ;Longrightarrow; n^2 >= 8cdot0.17612cdot10^-7approx1,17times10^6 ;Longrightarrow; n>=1083,7
  1. Derivando duas vezes (usando quociente):
No intervalo , o maior valor de ocorre em :
  1. Impor :
Logo, escolhemos .
Com esse , aprox. com erro .

Passo 3

  1. Fórmula (com S^(1/3)n = h3l[f(x0)+4sumi ímparf(xi) +2sumi par, 1<= i<= n-1f(xi)+f(xn)r] par e |ES1/3|<= (b-a)^5180,n^4;M4, ):
M4 = maxxin[1,3] l|f^(4)(x)r| í
  1. Erro
M4approx 0,53
onde
2^5180,n^4,0,53 <=10^-7 ;Longrightarrow; 32cdot0.53180,n^4<=10^-7 ;Longrightarrow; n^4 >= 9,42times10^5 ;Longrightarrow; n>=31,2
  1. Derivando até a 4ª vez (é trabalhosa, mas vale usar quociente e produto várias vezes), chega-se a:
  1. Impor
Como precisa ser par, escolhemos .
Com , tem erro .

Passo 4

  1. Fórmula (com S^(3/8)n = 3h8l[f(x0) +3sumiequiv1,2pmod3f(xi) +2sumiequiv0pmod3,;1<= i<= n-1f(xi) +f(xn)r] múltiplo de 3 e |ES3/8|<= 3(b-a)^580,n^4;M4 = 3cdot3280,n^4,0,53 = 50,8880,n^4 approx0,636n^4 ):
0,636n^4<=10^-7 ;Longrightarrow; n^4>=6,36times10^6 ;Longrightarrow; n>=50,3
  1. Erro
  1. Impor
Como tem que ser múltiplo de 3, pegamos .
Com , garante erro .

Resposta

Aproximações da integral
com erro :
  • Trapézio composto ( ):
  • Simpson composto ( ):
  • Simpson composto ( ):

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