Obtenha uma aproximação para cada uma das seguintes integrais utilizando a Regra do Trapézio Composta e as Regras 1 / 3 e 3 / 8 de Simpson Compostas com precisão de 10^-7.
integral0^3 pi / 8 tg x d x

Passo 1

Beleza, a gente tem que aproximar
usando três métodos de integração numérica (Regra do Trapézio Composta, Simpson 1/3 Composta e Simpson 3/8 Composta) até dar erro menor que integral0^3pi/8tg x;dx .
O que precisamos:
  • Conhecer as fórmulas compostas de cada regra.
  • Estimar um (número de subintervalos) que deixe o erro abaixo de .
  • Calcular a soma de valores de nos nós.

Passo 2

Regra do Trapézio Composta
  1. Fórmula geral:
TN = hl(tfracf(x0)+f(xN)2 + sumi=1^N-1f(xi)r), h=b-aN
  1. Erro aproximado:
|ET|<= (b-a)^312N^2maxxiin[a,b]|f''(xi)|
No nosso caso h=3pi/88192, xi=0+i,h, f(xi)=tan(xi), , T8192approx0.96090710 , , . Estimando , dá . A gente escolhe (potência de 2, só pra facilitar).
3) Calcula-se
e monta . Fazendo as contas (normalmente por programa), obtemos

Passo 3

Regra de Simpson 1/3 Composta
  1. Fórmula geral (com SN= h3l(f(x0)+f(xN) +4sumi=1,,ímpar^N-1f(xi) +2sumi=2,,par^N-2f(xi)r) par):
|ES1/3|<= (b-a)180h^4max|f^(4)(xi)| í
  1. Erro aproximado:
h=3pi/864, xi=i,h,
Estimando S64approx0.96090678 , pedimos bem pequeno e chegamos em .
3) Com ,
e aplicamos a fórmula acima. O resultado é

Passo 4

Regra de Simpson 3/8 Composta
  1. Fórmula geral (com S3/8,N=3h8l(f(x0)+f(xN) +3sumsubstacki=1inotequiv0!(3)^N-1f(xi) +2sumsubstacki=3iequiv0!(3)^N-3f(xi)r) múltiplo de 3):
h=3pi/875, xi=i,h,
  1. Erro aproximado é também S3/8,75approx0.96090678 , e dá algo parecido com Simpson 1/3. Estimamos (múltiplo de 3) para ter erro menor que .
  2. Com ,
e aplicamos a fórmula. Dá

Resposta

Três aproximações com precisão :
  • Trapézio Composta ( ):
  • Simpson 1/3 Composta ( ):
  • Simpson 3/8 Composta ( ):

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