Obtenha uma aproximação das seguintes integrais utilizando a regra do trapézio e do ponto médio.
integral1^1.6 2 xx^2-4 d x

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra aproximar
integral1^1.6 2xx^2 - 4,dx
usando a regra do trapézio e a do ponto médio. Isso é uma aplicação de métodos de integração numérica (quando não queremos ou não podemos achar a primitiva exata). A teoria que vamos usar é:
  • Fórmula do trapézio para subintervalos;
  • Fórmula do ponto médio para subintervalos;
  • Precisamos escolher quantos subintervalos (vou usar ), calcular o passo , avaliar a função nos pontos certos e aplicar as fórmulas.

Passo 2

Primeiro, vamos dividir o intervalo h = 0.63 = 0.2 em x0 = 1, x1 = 1.2, x2 = 1.4, x3 = 1.6 partes iguais. O comprimento total é , então
Os nós serão

Passo 3

Teoria da regra do trapézio:
Para Tn = h2l[f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + cdots + 2f(xn-1) + f(xn)r] subintervalos de largura , a aproximação é
Aqui .

Passo 4

Vamos avaliar f(1.0) &= 2cdot11-4 = -tfrac23approx -0.6667, f(1.2) &= 2.41.44-4 = -0.9375, f(1.4) &= 2.81.96-4 approx -1.3725, f(1.6) &= 3.22.56-4 = -2.2222 nos nós e calcular T3 &= 0.22l[f(1.0)+2f(1.2)+2f(1.4)+f(1.6)r] &= 0.1l[-0.6667 + 2(-0.9375) + 2(-1.3725) + (-2.2222)r] &approx 0.1 times (-7.5089) = -0.7509 .
Agora

Passo 5

Teoria da regra do ponto médio:
Também com mi = xi-1 + tfrach2, i=1,dots,n, subintervalos de largura Mn = hl[f(m1)+f(m2)+cdots+f(mn)r] , usamos os pontos médios
e a fórmula é

Passo 6

Os pontos médios dos pedaços são
m1 = 1.1, m2 = 1.3, m3 = 1.5
Avaliações:
f(1.1) &approx 2.21.21-4 = -0.7885, f(1.3) &approx 2.61.69-4 = -1.1255, f(1.5) &= 3.02.25-4 = -1.7143
Então
M3 &= 0.2l[-0.7885 + (-1.1255) + (-1.7143)r] &approx 0.2 times (-3.6283) = -0.7257

Resposta

Regra do trapézio ( ):
Regra do ponto médio ( ):

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