Obtenha uma aproximação das seguintes integrais utilizando a regra do trapézio e do ponto médio.
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente aproximar
$\int_{0}^{1} x^{2} e^{-x} ,dx$
usando a regra do trapézio e do ponto médio.
Isso faz parte do tema de quadratura numérica (métodos de aproximação de integrais).
O que a gente vai precisar:
$\int_{0}^{1} x^{2} e^{-x} ,dx$
usando a regra do trapézio e do ponto médio.
Isso faz parte do tema de quadratura numérica (métodos de aproximação de integrais).
O que a gente vai precisar:
- Dividir o intervalo
em subintervalos iguais (escolher um $n$). - Calcular o tamanho do passo $h = \frac{b-a}{n}$.
- Avaliar a função $f(x)=x^2 e^{-x}$ nos pontos certos.
- Aplicar as fórmulas da regra do trapézio e da regra do ponto médio.
Passo 2
Escolhendo $n = 4$ subintervalos (pra ficar didático):
- $a = 0$, $b = 1$.
- $h = \frac{1 - 0}{4} = 0{,}25$.
Então os nós são
E a função é $f(x)=x2e{-x}$, então a gente vai precisar de
$f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_4)$.
$f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_4)$.
Passo 3
Aplicando a regra do trapézio:
A fórmula é
A fórmula é
- Calculemos os valores aproximados (com 4 casas, só pra ver):
- $f(0)=0$
- $f(0{,}25)=0{,}25^2 e^{-0{,}25}\approx 0{,}0625\cdot0{,}7788\approx0{,}0487$
- $f(0{,}50)=0{,}25\cdot e^{-0{,}5}\approx0{,}25\cdot0{,}6065\approx0{,}1516$
- $f(0{,}75)=0{,}75^2 e^{-0{,}75}\approx0{,}5625\cdot0{,}4724\approx0{,}2653$
- $f(1)=1\cdot e^{-1}\approx0{,}3679$.
- Some:
- Então
Passo 4
Agora a regra do ponto médio:
onde os pontos médios são
- Avaliando:
- $f(0{,}125)=0{,}125^2 e^{-0{,}125}\approx0{,}0156\cdot0{,}8825\approx0{,}0138$
- $f(0{,}375)=0{,}1406\cdot e^{-0{,}375}\approx0{,}1406\cdot0{,}6873\approx0{,}0966$
- $f(0{,}625)=0{,}3906\cdot e^{-0{,}625}\approx0{,}3906\cdot0{,}5353\approx0{,}2091$
- $f(0{,}875)=0{,}7656\cdot e^{-0{,}875}\approx0{,}7656\cdot0{,}4169\approx0{,}3194$.
- Soma:\
$0{,}0138+0{,}0966+0{,}2091+0{,}3194\approx0{,}6389$ - Logo
Resposta
Aproximação pelo trapézio (n=4): $T_4\approx0{,}1624$
Aproximação pelo ponto médio (n=4): $M_4\approx0{,}1597$
Aproximação pelo ponto médio (n=4): $M_4\approx0{,}1597$