Obtenha uma aproximação das seguintes integrais utilizando a regra do trapézio e do ponto médio.
integral0^1 x^2 e^-x d x

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar
$\int_{0}^{1} x^{2} e^{-x} ,dx$
usando a regra do trapézio e do ponto médio.
Isso faz parte do tema de quadratura numérica (métodos de aproximação de integrais).
O que a gente vai precisar:
  • Dividir o intervalo integral0^1 x^2 e^-x ,dx em subintervalos iguais (escolher um $n$).
  • Calcular o tamanho do passo $h = \frac{b-a}{n}$.
  • Avaliar a função $f(x)=x^2 e^{-x}$ nos pontos certos.
  • Aplicar as fórmulas da regra do trapézio e da regra do ponto médio.

Passo 2

Escolhendo $n = 4$ subintervalos (pra ficar didático):
  • $a = 0$, $b = 1$.
  • $h = \frac{1 - 0}{4} = 0{,}25$.
    Então os nós são
n = 4
E a função é $f(x)=x2e{-x}$, então a gente vai precisar de
$f(x_0),f(x_1),\dots,f(x_4)$.

Passo 3

Aplicando a regra do trapézio:
A fórmula é
Tn = h2l[f(x0) + 2sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn)r]
  1. Calculemos os valores aproximados (com 4 casas, só pra ver):
    • $f(0)=0$
    • $f(0{,}25)=0{,}25^2 e^{-0{,}25}\approx 0{,}0625\cdot0{,}7788\approx0{,}0487$
    • $f(0{,}50)=0{,}25\cdot e^{-0{,}5}\approx0{,}25\cdot0{,}6065\approx0{,}1516$
    • $f(0{,}75)=0{,}75^2 e^{-0{,}75}\approx0{,}5625\cdot0{,}4724\approx0{,}2653$
    • $f(1)=1\cdot e^{-1}\approx0{,}3679$.
  2. Some: f(0)=0
  3. Então
f(0,25)=0,25^2 e^-0,25approx 0,0625cdot0,7788approx0,0487

Passo 4

Agora a regra do ponto médio:
Mn = hsumi=1^n fl(xi-tfrac12r),
onde os pontos médios são
x0.5=0,125,; x1.5=0,375,; x2.5=0,625,; x3.5=0,875
  1. Avaliando:
    • $f(0{,}125)=0{,}125^2 e^{-0{,}125}\approx0{,}0156\cdot0{,}8825\approx0{,}0138$
    • $f(0{,}375)=0{,}1406\cdot e^{-0{,}375}\approx0{,}1406\cdot0{,}6873\approx0{,}0966$
    • $f(0{,}625)=0{,}3906\cdot e^{-0{,}625}\approx0{,}3906\cdot0{,}5353\approx0{,}2091$
    • $f(0{,}875)=0{,}7656\cdot e^{-0{,}875}\approx0{,}7656\cdot0{,}4169\approx0{,}3194$.
  2. Soma:\
    $0{,}0138+0{,}0966+0{,}2091+0{,}3194\approx0{,}6389$
  3. Logo
f(0,125)=0,125^2 e^-0,125approx0,0156cdot0,8825approx0,0138

Resposta

Aproximação pelo trapézio (n=4): $T_4\approx0{,}1624$
Aproximação pelo ponto médio (n=4): $M_4\approx0{,}1597$

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