7- Se o método de newton for utilizado para aproximar uma solução da equação 2
, com chute inicial
, em duas iterações tem-se como aproximação
a) 0,910212
b) 0,904708
c) 0,904800
d) 0,906820
e) não sei
a) 0,910212
b) 0,904708
c) 0,904800
d) 0,906820
e) não sei
Passo 1
O enunciado pede: usar o método de Newton para aproximar, em duas iterações, uma solução da equação
com chute inicial
.
Informações dadas:
Informações dadas:
e a equação acima (vou reescrever como função igual a zero para aplicar Newton).
Passo 2
Coloco a equação na forma
. Subtraindo o termo do lado direito, defino
Explicação rápida: transformamos a equação dada em uma função cujo zero é a solução procurada. Assim, resolver a equação equivale a achar
tal que
.
Passo 3
Aplico a fórmula do método de Newton. A iteração é
Aqui é essencial saber derivar
. Usando regras básicas:
- derivada de
é , - derivada de
é ,
então
Vou usar essas fórmulas para calcular
e depois
.
Passo 4
Primeira iteração — calcular
.
Calculo os termos:
Usando valores aproximados (cada valor numérico abaixo é uma aproximação decimal):
Portanto
Passo 5
Ainda na primeira iteração — calcular
.
Calculo os termos:
Já
calculado antes vale
. Assim
Passo 6
Calcula-se
pela fórmula de Newton:
Dividindo:
Logo
Passo 7
Segunda iteração — calcular
. Vou calcular os termos necessários com aproximações controladas.
Calcular
:
Aproximação de
por série (termos principais):
Como
,
Então
Calcular
. Uso identidade de soma de ângulos para obter
com precisão:
Valores conhecidos:
Pequenos-ângulos:
Assim
Multiplicando por 2:
(Observação: usei aproximações de série para termos pequenos; o resultado final será consistente nas casas decimais relevantes.)
Agora
:
(Nota: usando um arredondamento ligeiramente diferente obtém-se valor próximo a
; ambos conduzem à mesma iteração final com precisão de 6 dígitos.)
Passo 8
Calcular
.
Estimando
pela mesma decomposição:
Então
E já temos
, portanto
Passo 9
Agora calculo
:
Aqui
é aproximadamente
Portanto
Esse é o valor obtido após duas iterações de Newton (com arredondamento às 6 casas decimais).
Resposta
a)