Obtenha uma parametrização das curvas gamma(t) definidas pela interseção da seguintes superfícies.
lz=raizx^2+y^2 z=4.

Passo 1

Beleza, mano! O exercício pede pra gente achar uma parametrização da curva que surge quando você intersecta duas superfícies no espaço:
  1. z = √(x² + y²)
  2. z = 4
    Isso é praticamente um tópico de Geometria Analítica / Cálculo em R³, mais precisamente sobre parametrizar curvas no espaço.
    Pra resolver a gente vai precisar:
  • Reconhecer que “√(x² + y²) = 4” dá um círculo no plano z = 4.
  • Lembrar como a gente parametriza um círculo de raio R no plano (usando seno e cosseno).

Passo 2

Primeiro, iguala as duas definições de z:
raizx^2 + y^2 ;=; 4
Elevando ao quadrado (e lembrando que a raiz é não negativa, então não geramos solução espúria), ficamos com
x^2 + y^2 = 16
Isso é a equação de um círculo de raio 4 no plano xy, mas note que a segunda superfície manda . Então a curva de interseção é exatamente esse círculo lá no “nível” .

Passo 3

Agora, como a gente parametriza um círculo de raio x = Rcos t, y = Rsin t, no plano xy? A fórmula clássica é
z = 4
com variando de a .
Aqui . E como o círculo está no plano , basta atribuir
sempre.

Resposta

gamma(t) = l(4cos t,;4sin t,;4r), 0 <= t < 2pi

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