Obtenha uma parametrização das curvas
definidas pela interseção da seguintes superfícies.
.
Passo 1
Beleza, mano! O exercício pede pra gente achar uma parametrização da curva que surge quando você intersecta duas superfícies no espaço:
- z = √(x² + y²)
- z = 4
Isso é praticamente um tópico de Geometria Analítica / Cálculo em R³, mais precisamente sobre parametrizar curvas no espaço.
Pra resolver a gente vai precisar:
- Reconhecer que “√(x² + y²) = 4” dá um círculo no plano z = 4.
- Lembrar como a gente parametriza um círculo de raio R no plano (usando seno e cosseno).
Passo 2
Primeiro, iguala as duas definições de z:
Elevando ao quadrado (e lembrando que a raiz é não negativa, então não geramos solução espúria), ficamos com
Isso é a equação de um círculo de raio 4 no plano xy, mas note que a segunda superfície manda
. Então a curva de interseção é exatamente esse círculo lá no “nível”
.
Passo 3
Agora, como a gente parametriza um círculo de raio
no plano xy? A fórmula clássica é
com
variando de
a
.
Aqui . E como o círculo está no plano
, basta atribuir
Aqui
sempre.