Obtenha uma parametrização das curvas gamma(t) definidas pela interseção da seguintes superfícies.
llz & =x^2+y^2 x & =y.

Passo 1

Beleza, a questão pede para a gente achar uma parametrização da curva γ(t) que é a interseção das superfícies
z = x^2 + y^2, x = y
Isso cai em Cálculo 3, mais precisamente em parametrização de curvas em . Para resolver, vamos usar o fato de que a interseção de duas superfícies dá duas equações que os pontos (x,y,z) devem satisfazer, e daí a gente escolhe um parâmetro para expressar tudo.

Passo 2

Primeiro, pega a equação mais simples: x(t) = t e y(t) = t, . Isso já nos diz que a gente pode deixar
ou seja, escolhemos como sendo exatamente o valor de (e de ). Na linguagem de parametrização, estamos dizendo que o parâmetro percorre todos os valores de e na curva.

Passo 3

Agora usamos a outra superfície z(t) ;=; l(x(t)r)^2 + l(y(t)r)^2 ;=; t^2 + t^2 ;=; 2,t^2 . Basta substituir e lá dentro:
Isso vem da teoria de parametrização: a gente já tem e , então calcula o terceiro componente antes de montar o vetor posição.

Passo 4

Pronto! Agora a gente junta tudo em um vetor posição gamma(t) = l(x(t),,y(t),,z(t)r) = l(t,,t,,2t^2r) . Fica assim:
E, como não tinha nenhuma restrição extra, o domínio natural é .

Resposta

gamma(t) = l(t,,t,,2t^2r), t in R

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