Obtenha uma parametrização das curvas
definidas pela interseção da seguintes superfícies.
.
Passo 1
Beleza, a questão pede para a gente achar uma parametrização da curva γ(t) que é a interseção das superfícies
Isso cai em Cálculo 3, mais precisamente em parametrização de curvas em
. Para resolver, vamos usar o fato de que a interseção de duas superfícies dá duas equações que os pontos (x,y,z) devem satisfazer, e daí a gente escolhe um parâmetro para expressar tudo.
Passo 2
Primeiro, pega a equação mais simples:
. Isso já nos diz que a gente pode deixar
ou seja, escolhemos
como sendo exatamente o valor de
(e de
). Na linguagem de parametrização, estamos dizendo que o parâmetro
percorre todos os valores de
e
na curva.
Passo 3
Agora usamos a outra superfície
. Basta substituir
e
lá dentro:
Isso vem da teoria de parametrização: a gente já tem
e
, então calcula o terceiro componente
antes de montar o vetor posição.
Passo 4
Pronto! Agora a gente junta tudo em um vetor posição
. Fica assim:
E, como não tinha nenhuma restrição extra, o domínio natural é
.