Obtenha o polinômio interpolador para as funções seguintes:
f(x)=e^2 x cdot cos (3 x), com x0=0, x1=0,3 e x2=0,6;

Passo 1

Beleza, o enunciado quer que a gente ache o polinômio interpolador de grau 2 pra função
f(x) = e^2x,cos(3x)
nos pontos , e .
Isso cai em “interpolação polinomial” e a gente vai usar o método de Lagrange. O que precisamos:
  1. Calcular em cada ponto.
  2. Montar os polinômios base de Lagrange .
  3. Somar .
  4. Expandir pra forma .

Passo 2

Primeiro, calcula y0 &= f(0) = e^2cdot0cos(3cdot0) = 1cdot1 = 1, y1 &= f(0,3) = e^0,6cos(0,9)approx 1,8221;times 0,6216 approx 1,1320, y2 &= f(0,6) = e^1,2cos(1,8)approx 3,3201;times(-0,2272)approx -0,7540 :
Aqui a gente só usou o fato de que e são fáceis de avaliar em pontos, depois arredondei pra 4 casas.

Passo 3

Agora os polinômios de Lagrange: cada L0(x)=(x-x1)(x-x2)(x0-x1)(x0-x2) =(x-0,3)(x-0,6)(0-0,3)(0-0,6) =(x-0,3)(x-0,6)0,18, é feito pra valer 1 em L1(x)=(x-x0)(x-x2)(x1-x0)(x1-x2) =x,(x-0,6)(0,3)(-0,3) =x,(x-0,6)-0,09, e 0 nos outros.
L2(x)=(x-x0)(x-x1)(x2-x0)(x2-x1) =x,(x-0,3)(0,6)(0,3) =x,(x-0,3)0,18
A ideia teórica:
  • O numerador zera em qualquer com .
  • O denominador normaliza pra .

Passo 4

O polinômio interpolador é
P2(x) ;=; sumi=0^2 yi,Li(x) = y0,L0(x) + y1,L1(x) + y2,L2(x)
Substituindo P2(x) &= 1cdot(x-0,3)(x-0,6)0,18 +1,1320cdotx(x-0,6)-0,09 -0,7540cdotx(x-0,3)0,18 :
Agora é só expandir cada fração, juntar termos em , e constante.

Passo 5

Fazendo as contas (arredondado pra 2 casas decimais nos coeficientes):
  1. a = 5,56 -12,58 -4,19 approx -11,21, b = -5,00 +7,55 +1,26 approx 3,81, c = 1
Somando:

Resposta

boxedP2(x)approx -11,21,x^2 ;+;3,81,x;+;1,00

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