Utilize o Polinômio Interpolador de Lagrange de grau 1, 2 e 3 para aproximar cada um dos seguintes itens:
f(0,25), se f(0,1)=0,62049958, f(0,2)=-0,28398668, f(0,3)=0,00660095 e f(0,4)= 0.24842440

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar o valor de usando polinômios interpoladores de Lagrange de grau 1, 2 e 3. É um tópico de Métodos Numéricos / Interpolação. A ideia geral é: dado um conjunto de pontos , a gente monta um polinômio de grau que passa exatamente por esses pontos e avalia esse polinômio em .
O que vamos precisar:
  • A fórmula dos polinômios de base de Lagrange
  • Calcular os coeficientes (essas bases) para cada grau
  • Substituir e somar os termos

Passo 2

Interpolador de grau 1 (reta) usando os pontos mais próximos de P1(x)=f(x0),L0(x)+f(x1),L1(x), , ou seja L0(x)=x-x1x0-x1, L1(x)=x-x0x1-x0 e L0(x)=x-0,30,2-0,3 =x-0,3-0,1, L1(x)=x-0,20,3-0,2 =x-0,20,1 .
  1. Escreve a forma geral:
L0(0,25)=0,25-0,3-0,1=0,5, L1(0,25)=0,25-0,20,1=0,5
onde
P1(0,25) =0,5,f(0,2)+0,5,f(0,3) =0,5l(-0,28398668r)+0,5l(0,00660095r) approx -0,13869286
  1. Aqui , . Então:
  1. Avalia em :
  1. Então

Passo 3

Interpolador de grau 2 (poli. quadrático) usando P2(x)=sumi=0^2f(xi),Li(x), , Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x-xjxi-xj , L0(0,25) =(0,25-0,2)(0,25-0,3)(0,1-0,2)(0,1-0,3) =(0,05)(-0,05)(-0,1)(-0,2) =-0,125 .
  1. A forma geral é
L1(0,25) =(0,25-0,1)(0,25-0,3)(0,2-0,1)(0,2-0,3) =(0,15)(-0,05)(0,1)(-0,1) =0,75
com
L2(0,25) =(0,25-0,1)(0,25-0,2)(0,3-0,1)(0,3-0,2) =(0,15)(0,05)(0,2)(0,1) =0,375
  1. Calculando cada P2(0,25) =-0,125cdot0,62049958 +0,75cdot(-0,28398668) +0,375cdot0,00660095 approx -0,28807710 :
  • :
  • :
  • :
  1. Finalmente

Passo 4

Interpolador de grau 3 (cúbico) usando todos os quatro pontos P3(0,25) =-0,0625cdot0,62049958 +0,5625cdot(-0,28398668) +0,5625cdot0,00660095 -0,0625cdot0,24842440 approx -0,20983587 .
  1. Mesma ideia, mas com 4 bases .
  2. Calculando resumidamente em :
  3. Então

Resposta

  • Grau 1:
  • Grau 2:
  • Grau 3:

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