Utilize o Polinômio Interpolador de Lagrange de grau 1, 2 e 3 para aproximar cada um dos seguintes itens:
, se
e
0.24842440
Passo 1
Beleza, o exercício pede pra gente aproximar o valor de
usando polinômios interpoladores de Lagrange de grau 1, 2 e 3. É um tópico de Métodos Numéricos / Interpolação. A ideia geral é: dado um conjunto de pontos
, a gente monta um polinômio
de grau
que passa exatamente por esses pontos e avalia esse polinômio em
.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- A fórmula dos polinômios de base de Lagrange
- Calcular os coeficientes (essas bases) para cada grau
- Substituir
e somar os termos
Passo 2
Interpolador de grau 1 (reta) usando os pontos mais próximos de
, ou seja
e
.
- Escreve a forma geral:
onde
- Aqui
, . Então:
- Avalia em
:
- Então
Passo 3
Interpolador de grau 2 (poli. quadrático) usando
,
,
.
- A forma geral é
com
- Calculando cada
:
-
: -
: -
:
- Finalmente
Passo 4
Interpolador de grau 3 (cúbico) usando todos os quatro pontos
.
- Mesma ideia, mas com 4 bases
. - Calculando resumidamente em
: -
- Então
Resposta
- Grau 1:
- Grau 2:
- Grau 3: