Obtenha o polinômio interpolador para as funções seguintes:
f(x)=sen(ln (x)), com x0=2,0, x1=2,4 e x2=2,6;

Passo 1

Beleza! A gente precisa achar um polinômio f(x)=sin(ln x), x0=2.0,;x1=2.4,;x2=2.6 de grau 2 que passe pelos três pontos P2(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x), , onde
Li(x)=prodsubstackj=0jneq i^2x-xjxi-xj
Isso é um exercício clássico de interpolação de Lagrange. Vamos usar a fórmula do polinômio interpolador de Lagrange:
onde cada base é
Pra resolver a gente vai:
  1. calcular os valores ,
  2. montar cada ,
  3. montar e, se quiser, expandir.

Passo 2

Calcular y0&=sin(ln2.0)approxsin(0.6931)approx0.63896, y1&=sin(ln2.4)approxsin(0.8755)approx0.76751, y2&=sin(ln2.6)approxsin(0.9555)approx0.81739 :

Passo 3

Agora definimos as bases de Lagrange:
L0(x)&=(x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) =(x - 2.4)(x - 2.6)(2.0-2.4)(2.0-2.6), L1(x)&=(x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) =(x - 2.0)(x - 2.6)(2.4-2.0)(2.4-2.6), L2(x)&=(x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) =(x - 2.0)(x - 2.4)(2.6-2.0)(2.6-2.4)

Passo 4

Montamos o polinômio usando P2(x)&=0.63896cdot(x - 2.4)(x - 2.6)(2.0-2.4)(2.0-2.6) &+0.76751cdot(x - 2.0)(x - 2.6)(2.4-2.0)(2.4-2.6) &+0.81739cdot(x - 2.0)(x - 2.4)(2.6-2.0)(2.6-2.4) :
Se você quiser, dá pra expandir esses fatores e juntar termos em , mas não é obrigatório.

Resposta

O polinômio interpolador de Lagrange de grau 2 é
boxed P2(x) =0.63896,(x - 2.4)(x - 2.6)(-0.4)(-0.6) +0.76751,(x - 2.0)(x - 2.6)(0.4)(-0.2) +0.81739,(x - 2.0)(x - 2.4)(0.6)(0.2)
Esse aproxima exatamente nos pontos , e .

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