Utilize o Polinômio Interpolador de Lagrange de grau 1, 2 e 3 para aproximar cada um dos seguintes itens:
f(0,9), se f(0,6)=-0,17694460, f(0,7)=0,01375227, f(0,8)=0,22363362 e f(1,0)= 0,65809197.

Passo 1

Beleza, o que a gente tem aqui é um problema de interpolação pelo polinômio de Lagrange. A ideia é usar os valores já conhecidos de
f(0,6)=–0,17694460, f(0,7)=0,01375227, f(0,8)=0,22363362 e f(1,0)=0,65809197
para “chutar” f(0,9). Vamos fazer isso com polinômios de grau 1, 2 e 3.
Conteúdo: fórmula geral de Lagrange, construção de Lagrange de grau 1, 2 e 3, e avaliação em x=0,9.

Passo 2

Interpolação de grau 1 (reta entre dois pontos)
  1. Escolhemos os dois pontos mais próximos de 0,9: x₀=0,8 e x₁=1,0.
  2. Fórmula do Lagrange grau 1:
P1(x)=f(x0),x-x1x0-x1+f(x1),x-x0x1-x0
  1. Avaliando em x=0,9:
P1(0,9)=0,22363362;0,9-1,00,8-1,0 ;+;0,65809197;0,9-0,81,0-0,8
=;0,22363362cdot-0,1-0,2 ;+;0,65809197cdot0,10,2 =;0,22363362cdot0,5;+;0,65809197cdot0,5 =;0,440862795 approx0,4408628

Passo 3

Interpolação de grau 2 (parábola em três pontos)
  1. Escolhemos três pontos: x₀=0,7, x₁=0,8, x₂=1,0.
  2. Fórmula geral:
P2(x)=sumi=0^2 f(xi),Li(x), Li(x)=prodjneq ix-xjxi-xj
  1. Computando cada P2(0,9) =0,01375227cdot(-0,3333) +0,22363362cdot1 +0,65809197cdot0,3333 approx-0,0045841+0,2236336+0,2193640 =0,4384135 :
  1. Montando :

Passo 4

Interpolação de grau 3 (cúbica em quatro pontos)
  1. Usamos todos os quatro pontos: x₀=0,6, x₁=0,7, x₂=0,8, x₃=1,0.
  2. Mesma fórmula:
P3(0,9)=sumi=0^3 f(xi),Li(0,9), Li(0,9)=prodjneq i0,9-xjxi-xj
  1. Calculando rápido cada coeficiente:
  • P3(0,9) =-0,17694460cdot0,25 +0,01375227cdot(-1) +0,22363362cdot1,5 +0,65809197cdot0,25
  1. Então
=-0,0442362 -0,0137523 +0,3354504 +0,1645230 approx0,4419850

Resposta

Interpolando em x=0,9:
– Grau 1: 0,4408628
– Grau 2: 0,4384135
– Grau 3: 0,4419850

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