Seja f(x)=e^x, para 0 <= x <= 2:
Aproxime f(0,25) utilizando a interpolação linear com x0=0 e x1=0,5;

Passo 1

Beleza, a questão diz: “Temos a função no intervalo e queremos aproximar usando interpolação linear entre os pontos e .”
Isso é conteúdo de “Interpolação Linear”: a gente pega dois pontos que conhece direitinho na curva e traça a reta que passa por eles. Depois, é só usar a equação dessa reta para estimar o valor no ponto que não sabemos (aqui, ).
Para resolver, a gente vai precisar de:
  1. Os valores exatos e .
  2. A fórmula da reta que interpola dois pontos.
  3. Substituir nessa reta.

Passo 2

Primeiro, calcula os valores nos nós:
f(x0)=f(0)=e^0=1, f(x1)=f(0,5)=e^0,5,
Então nossos dois pontos conhecidos são e .

Passo 3

Teoria rápida de interpolação linear:
Se a gente tem pontos L(x)=y0 + y1 - y0x1 - x0,(x - x0) e y1 - y0x1 - x0 = e^0,5-10,5 = 2l(e^0,5-1r) , a reta que passa por eles é
L(x)=1 + 2l(e^0,5-1r),x
Aqui, , , , . A inclinação (coeficiente angular) é
Logo a reta fica

Passo 4

Agora manda ver em L(0,25) = 1 + 2l(e^0,5-1r),0,25 =1 + 0,5l(e^0,5-1r) =1 + 0,5,e^0,5 - 0,5 =1 + e^0,52 :
L(0,25)approx1 + 1,64872approx1,32435
Se você quiser valor numérico, usando :

Resposta

A aproximação por interpolação linear dá
f(0,25)approx L(0,25)=1 + e^0,52approx1,32435

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