Seja f(x)=e^x, para 0 <= x <= 2:
Aproxime f(0,25) e f(0,75) utilizando a interpolaçāo quadrática com x0=0, x1=1 e x2 =2;

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra aproximar f(0,25) e f(0,75) onde f(x)=e^x, usando interpolação quadrática (ou seja, um polinômio de grau 2) com os pontos x₀=0, x₁=1 e x₂=2.
Conteúdo: interpolação polinomial de Lagrange.
O que precisamos: entender a fórmula de Lagrange e construir o polinômio interpolador de grau 2 que passe pelos três pontos dados.

Passo 2

Teoria na prática: a fórmula de Lagrange para grau 2 é
P2(x) ;=; sumi=0^2 f(xi),Li(x) onde Li(x)=prodj=0,,jneq i^2x - xjxi - xj
Cada é um “peso” que vale 1 em e 0 nos outros . Assim, e o polinômio se ajusta direitinho aos três pontos.

Passo 3

Vamos escrever cada com , , :

Passo 4

Monta o polinômio:
P2(x) = f(0),L0(x) + f(1),L1(x) + f(2),L2(x) = 1cdot L0(x) + ecdot L1(x) + e^2cdot L2(x)

Passo 5

Avalia em L0(0,25)&=tfrac(0,25-1)(0,25-2)2=0,65625, L1(0,25)&=-0,25,(0,25-2)=0,4375, L2(0,25)&=tfrac0,25,(0,25-1)2=-0,09375 :
P2(0,25) =1cdot0,65625 + ecdot0,4375 + e^2cdot(-0,09375) approx 1,1533
Então

Passo 6

Avalia em L0(0,75)&=tfrac(0,75-1)(0,75-2)2=0,15625, L1(0,75)&=-0,75,(0,75-2)=0,9375, L2(0,75)&=tfrac0,75,(0,75-1)2=-0,09375 :
P2(0,75) =1cdot0,15625 + ecdot0,9375 + e^2cdot(-0,09375) approx 2,0119
Então

Resposta

Aproximações via interpolação quadrática:
f(0,25)approx1,1533 e f(0,75)approx2,0119

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