Obtenha o polinômio interpolador de Lagrange e Newton para as seguintes funções :
(a)
;
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar dois polinômios de grau 3 que “passam” exatamente pelos pontos dados de duas funções diferentes. Isso é interpolação polinomial de Lagrange e de Newton.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Para Lagrange, a fórmula
- Para Newton, montar a tabela de diferenças divididas e usar
Vamos lá, com calma e sem pular passo.
Passo 2
- Primeiro calculamos os valores:
- Montamos cada base
. Exemplo para (índice 1 corresponde a ): Fazemos igual para . - O polinômio fica
- Simplificando numericamente (dividindo pelos denominadores) obtemos
Passo 3
- Liste as diferenças divididas de 1ª ordem:
- Diferenças de 2ª ordem:
- Diferença de 3ª ordem:
- Montando
:
Passo 4
- Valores:
- Calculamos cada
e dividimos pelo denominador. Por exemplo, para : - Somando tudo:
que, coeficientes já divididos, dá
Passo 5
- Diferenças de 1ª ordem:
- 2ª ordem:
- 3ª ordem:
- Montando
:
Resposta
(a)
Lagrange:
Lagrange:
Newton:
(b)
Lagrange:
Lagrange:
Newton: