Obtenha o polinômio interpolador de Lagrange e Newton para as seguintes funções :
(a) f(x)=ln x, x0=1, x1=1.1, x2=1.3 e x3=1.4, n=3;
(b) f(x)=cos x+sin x, x0=0, x1=0.25, x2=0.5 e x3=1.0, n=3.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar dois polinômios de grau 3 que “passam” exatamente pelos pontos dados de duas funções diferentes. Isso é interpolação polinomial de Lagrange e de Newton.
O que vamos precisar:
  • Para Lagrange, a fórmula P3(x)=sumi=0^3 f(xi),Li(x), Li(x)=prodjneq ix - xjxi - xj
  • Para Newton, montar a tabela de diferenças divididas e usar N3(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+f[x0,x1,x2,x3](x-x0)(x-x1)(x-x2)
Vamos lá, com calma e sem pular passo.

Passo 2

  1. Primeiro calculamos os valores: f(1)=ln1=0, f(1.1)=ln1.1approx0.0953102, f(1.3)approx0.2623643, f(1.4)approx0.3364722
  2. Montamos cada base L1(x)=(x-1)(x-1.3)(x-1.4)(1.1-1)(1.1-1.3)(1.1-1.4) =(x-1)(x-1.3)(x-1.4)0.1cdot(-0.2)cdot(-0.3) =(x-1)(x-1.3)(x-1.4)0.006 . Exemplo para P3(x)=0cdot L0(x) +0.0953102,L1(x) +0.2623643,L2(x) +0.3364722,L3(x) (índice 1 corresponde a P3(x)=15.88503,(x-1)(x-1.3)(x-1.4) -43.72738,(x-1)(x-1.1)(x-1.4) +28.03935,(x-1)(x-1.1)(x-1.3) ): Fazemos igual para .
  3. O polinômio fica
  4. Simplificando numericamente (dividindo pelos denominadores) obtemos

Passo 3

  1. Liste as diferenças divididas de 1ª ordem: f[x0,x1]=0.0953102-01.1-1=0.9531018, f[x1,x2]=0.2623643-0.09531020.2=0.8352704, f[x2,x3]=0.3364722-0.26236430.1=0.7410798
  2. Diferenças de 2ª ordem: f[x0,x1,x2] =0.8352704-0.95310181.3-1 =-0.3927713, f[x1,x2,x3] =0.7410798-0.83527041.4-1.1 =-0.3139687
  3. Diferença de 3ª ordem: f[x0,x1,x2,x3] =-0.3139687-(-0.3927713)1.4-1 =0.1970065
  4. Montando N3(x)=0 +0.9531018,(x-1) -0.3927713,(x-1)(x-1.1) +0.1970065,(x-1)(x-1.1)(x-1.3) :

Passo 4

  1. Valores: f(0)=1, f(0.25)approx1.2163164, f(0.5)approx1.3570081, f(1.0)approx1.3817733
  2. Calculamos cada L0(x)=(x-0.25)(x-0.5)(x-1)(0-0.25)(0-0.5)(0-1) =(x-0.25)(x-0.5)(x-1)-0.125 =-8,(x-0.25)(x-0.5)(x-1) e dividimos pelo denominador. Por exemplo, para P3(x)=1cdot L0(x) +1.2163164cdot L1(x) +1.3570081cdot L2(x) +1.3817733cdot L3(x), : P3(x)=-8,(x-0.25)(x-0.5)(x-1) +25.96000,(x)(x-0.5)(x-1) -21.71213,(x)(x-0.25)(x-1) +3.683262,(x)(x-0.25)(x-0.5)
  3. Somando tudo: que, coeficientes já divididos, dá

Passo 5

  1. Diferenças de 1ª ordem: f[x0,x1]=1.2163164-10.25=0.8652656, ;f[x1,x2]=1.3570081-1.21631640.25=0.5627668, ;f[x2,x3]=1.3817733-1.35700810.5=0.0495304
  2. 2ª ordem: f[x0,x1,x2] =0.5627668-0.86526560.5=-0.6049976, f[x1,x2,x3] =0.0495304-0.56276680.75=-0.6843152
  3. 3ª ordem: f[x0,x1,x2,x3] =-0.6843152-(-0.6049976)1.0= -0.0793176
  4. Montando N3(x) =1 +0.8652656,x -0.6049976,x(x-0.25) -0.0793176,x(x-0.25)(x-0.5) :

Resposta

(a)
Lagrange:
P3(x)=15.88503,(x-1)(x-1.3)(x-1.4) -43.72738,(x-1)(x-1.1)(x-1.4) +28.03935,(x-1)(x-1.1)(x-1.3)
Newton:
N3(x)=0 +0.9531018,(x-1) -0.3927713,(x-1)(x-1.1) +0.1970065,(x-1)(x-1.1)(x-1.3)
(b)
Lagrange:
P3(x)=-8,(x-0.25)(x-0.5)(x-1) +25.96000,(x)(x-0.5)(x-1) -21.71213,(x)(x-0.25)(x-1) +3.683262,(x)(x-0.25)(x-0.5)
Newton:
N3(x) =1 +0.8652656,x -0.6049976,x(x-0.25) -0.0793176,x(x-0.25)(x-0.5)

Exercícios relacionados