Use o polinômio de Taylor para a função definida por \mathrm{f}(\mathrm{x})=\operatorname{sen} \mathrm{x}, em torno de \mathrm{x}^{*}=0 para estimar o erro da aproximação \operatorname{sen} \mathrm{x} \approx \mathrm{x} em \mathrm{x}=1.

Passo 1

O enunciado pede estimar o erro em x=1 da aproximação \sin(x)\approx x usando o polinômio de Taylor de \sin(x) centrado em 0. O conteúdo envolvido é a expansão de Taylor e a fórmula do resto de Lagrange.

Passo 2

Expandimos \sin(x) em torno de 0:
\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots.
O polinômio de Taylor de primeira ordem P_1 é obtido truncando após o termo x:
P_1(x) = x.

Passo 3

O resto de ordem 2 (já que o termo em x^2 em \sin(x) é zero) na forma de Lagrange é
R_2(x) = \frac{f^{(3)}(\xi)}{3!}\,x^3,
para algum \xi entre 0 e x. Como f(x)=\sin(x), temos f^{(3)}(x) = -\cos(x).

Passo 4

Para estimar o erro, usamos \lvert\cos(\xi)\rvert \le 1, logo
\lvert R_2(x)\rvert \le \frac{\lvert x\rvert^3}{3!} = \frac{\lvert x\rvert^3}{6}.

Passo 5

Em x=1:
\lvert R_2(1)\rvert \le \frac{1^3}{6} = \frac{1}{6} \approx 0{,}1667.

Resposta

O erro da aproximação \sin(x)\approx x em x=1 é no máximo \tfrac{1}{6}\approx0{,}1667.

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