Usando o desenvolvimento de Taylor de ey ao redor da origem, calcular a Série de Taylor da função \exp (- \mathrm{x}^{2} ), ao redor da origem.

Passo 1

O enunciado pede a Série de Taylor (Maclaurin) de f(x)=\exp(-x^2) em torno da origem. Vamos usar que conhecemos a expansão de Taylor de e^y em y=0 e então substituir y=-x^2.

Passo 2

A expansão de Taylor de e^y em torno de y=0 é
e^y = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{y^n}{n!},
válida para todo y\in\mathbb{R}.

Passo 3

Substituindo y=-x^2 na série obtemos
e^{-x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x^2)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\,x^{2n}}{n!}.
Isso mostra que só aparecem potências pares de x.

Resposta

\exp(-x^2) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!}\,x^{2n}.

Exercícios relacionados