Obtenha a solução do problema de quadrados mínimos lineares associada ao sistema impossível
, onde
Calcule o erro final obtido.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para achar a solução de mínimos quadrados (ou seja, “a melhor aproximação”) de um sistema impossível
com
$$
A=
A= 1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 , b=1110 ,\quad
b=A^T A,x = A^T b .
b=
Vamos precisar de álgebra matricial (transposta, produto, sistema 3×3) e depois calcular o vetor de erro/resíduo.
Passo 2
Teoria rápida: a solução de mínimos quadrados é o vetor
x que minimiza
Derivando em relação a
Então primeiro a gente monta
Calculemos
Passo 3
Agora resolvemos
As equações são
-
,4x1+4x3=3 -
,4x2+4x3=-1 - é dependente das duas primeiras (soma delas).
Daqui:
e
Passo 4
Agora o resíduo (erro) é
Se
para as linhas 1 e 3 vem
logo
$$r =
r = 0tfrac12-10tfrac12-0 =0-1/201/2
=
.$$
Passo 5
Pra fechar, a norma do resíduo (erro final) é
Resposta
Solução geral de mínimos quadrados:
$$x=
x=x1x2x3 =tfrac34 - t -tfrac14 - t t, tin R
=
r=A x - b = (0,,-tfrac12,,0,,tfrac12)^T, |r|2 = 1raiz2 ,\quad t\in\mathbb R.
í r=A x - b = (0,,-\tfrac12,,0,,\tfrac12)^T,
\quad |r|_2 = \frac1{\sqrt2}.$$