Obtenha a solução do problema de quadrados mínimos lineares associada ao sistema impossível A x=b, onde
A=(rrr 1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 ) e b=(l 1 1 1 0 )
Calcule o erro final obtido.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para achar a solução de mínimos quadrados (ou seja, “a melhor aproximação”) de um sistema impossível
A x = b
com
$$
A= A= 1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 1 & -1 & 0 1 & 1 & 2 , b=1110 ,\quad
b= A^T A,x = A^T b.
úíçõA^T A,x = A^T b.$$
Vamos precisar de álgebra matricial (transposta, produto, sistema 3×3) e depois calcular o vetor de erro/resíduo.

Passo 2

Teoria rápida: a solução de mínimos quadrados é o vetor x que minimiza
|Ax-b|2^2
Derivando em relação a x leva às equações normais
A^T A,x = A^T b
Então primeiro a gente monta
A^T A, A^T b
Calculemos
A^T A=sumi=1^4 ai,ai^T =4&0&40&4&44&4&8, A^T b=sumi=1^4 ai,bi =3-12

Passo 3

Agora resolvemos
4&0&40&4&44&4&8 x1x2x3 =3-12
As equações são
  1. 4x1+4x3=3,
  2. 4x2+4x3=-1,
  3. é dependente das duas primeiras (soma delas).
    Daqui:
x1 = tfrac34 - x3, x2 = -tfrac14 - x3,
e x3 fica livre (digamos x3=t).

Passo 4

Agora o resíduo (erro) é
r = A x - b
Se x=(tfrac34-t,,-tfrac14-t,,t)^T, então
para as linhas 1 e 3 vem 1-1=0, e para as linhas 2 e 4
1cdot x1 +1cdot x2 +2cdot x3 = tfrac12
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$$r = r = 0tfrac12-10tfrac12-0 =0-1/201/2
= .$$

Passo 5

Pra fechar, a norma do resíduo (erro final) é
|r|2=raiz0^2+(-tfrac12)^2+0^2+(tfrac12)^2 =raiztfrac14+tfrac14 =raiztfrac12 =1raiz2

Resposta

Solução geral de mínimos quadrados:
$$x= x=x1x2x3 =tfrac34 - t -tfrac14 - t t, tin R
= r=A x - b = (0,,-tfrac12,,0,,tfrac12)^T, |r|2 = 1raiz2,\quad t\in\mathbb R. ír=A x - b = (0,,-\tfrac12,,0,,\tfrac12)^T,
\quad |r|_2 = \frac1{\sqrt2}.$$

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