Equação de Riccati Resolva a equação de Riccati:
\frac{d y}{d x}=y^{2}+x
Sugestão: encontre uma solução particular y_{p} e use a substituição y=y_{p}+\frac{1}{v}.
Observação: Utilize técnicas adequadas em cada tipo de equação - verificação de exatidão, fator integrante, substituições ou métodos diretos - e justifique cada passo de sua solução.

Passo 1

Enunciado: Resolver a equação de Riccati
\frac{d y}{d x}=y^{2}+x.
O que o problema pede: encontrar a família geral de soluções y(x) que satisfazem essa equação diferencial.
Informações dadas:
\frac{d y}{d x}=y^{2}+x
é uma equação de Riccati (termo quadrático y^{2} presente). Foi sugerido: encontrar uma solução particular y_{p} e usar a substituição y=y_{p}+\frac{1}{v}. O enunciado também pede justificativas e uso de técnicas adequadas.
Observação: vou justificar o método escolhido ao longo da resolução. Não há uma solução particular algébrica simples (polinomial/racional elementar) óbvia para essa equação; por isso vou usar uma transformação padrão que reduz Riccati a uma equação linear de segunda ordem, resolver essa equação e voltar à solução de y. Depois mostrarei a relação com a substituição sugerida y=y_{p}+\frac{1}{v}.

Passo 2

Motivação do método e escolha: é uma técnica clássica para Riccati usar a substituição
y = -\frac{u'}{u},
onde u=u(x) e u'=\dfrac{du}{dx}. Vou explicar por que isso é útil: se colocarmos y=-u'/u e substituir na equação de Riccati, as parcelas quadráticas em y e a derivada y' se combinam de modo a eliminar o termo y^{2}, produzindo uma equação linear de segunda ordem para u. Essa equação linear, embora não tenha solução elementar em termos de funções elementares, é uma equação conhecida cujas soluções são expressas por funções especiais (funções de Airy). Essa rota dá a forma geral da solução de y. Vou fazer passo a passo a derivação algébrica.

Passo 3

Calcule y' em função de u quando y=-u'/u. Aplicando a regra do quociente (ou produto):
y = -\frac{u'}{u}.
Derivando ambos os lados em relação a x:
\frac{d y}{d x} = -\frac{d}{dx}\!\left(\frac{u'}{u}\right) = -\frac{u''\,u - u'^{2}}{u^{2}}.
Repare que podemos escrever isso como
\frac{d y}{d x} = -\frac{u''}{u} + \frac{u'^{2}}{u^{2}}.
Agora calcule y^{2}:
y^{2} = \left(-\frac{u'}{u}\right)^{2} = \frac{u'^{2}}{u^{2}}.
Substituindo \dfrac{d y}{d x} e y^{2} na equação original \dfrac{d y}{d x}=y^{2}+x, obtemos
-\frac{u''}{u} + \frac{u'^{2}}{u^{2}} = \frac{u'^{2}}{u^{2}} + x.
Os termos \dfrac{u'^{2}}{u^{2}} cancelam-se dos dois lados, sobrando
-\frac{u''}{u} = x.
Multiplicando por -u chegamos à equação linear de segunda ordem
u'' + x\,u = 0.
Portanto, a substituição y=-u'/u transforma a Riccati dada numa equação linear
u'' + x\,u = 0.

Passo 4

Resolver a equação linear de segunda ordem
u'' + x\,u = 0.
Comentários didáticos: essa é uma forma da equação de Airy. A equação de Airy padrão é
w'' - z\,w = 0,
cuja solução fundamental é dada pelas funções de Airy \operatorname{Ai}(z) e \operatorname{Bi}(z). Para mapear a nossa equação em u'' + x\,u = 0 para a forma padrão, fazemos a substituição z=-x. De fato, se definirmos w(z)=u(x) com z=-x, então d^{2}w/dz^{2}-z w=0 equivale exatamente à nossa equação. Assim as soluções gerais de u''+x u=0 são combinações lineares de \operatorname{Ai}(-x) e \operatorname{Bi}(-x).
Portanto, a solução geral para u é
u(x)=C_{1}\,\operatorname{Ai}(-x)+C_{2}\,\operatorname{Bi}(-x),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias e \operatorname{Ai}, \operatorname{Bi} são as funções de Airy (funções especiais bem conhecidas; não expressíveis por funções elementares, mas tabuladas e com propriedades bem definidas).
Breve nota sobre \operatorname{Ai} e \operatorname{Bi}: elas são soluções linearmente independentes da equação w''-z w=0; têm derivadas \operatorname{Ai}' e \operatorname{Bi}' e validade para todos z\in\mathbb{R}. Não precisamos entrar na série ou integral definidora aqui, apenas é importante saber que essas funções são as soluções fundamentais.

Passo 5

Voltar à variável y. Lembrando que y=-u'/u, calculamos u' para u(x)=C_{1}\operatorname{Ai}(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}(-x). Pelo efeito da cadeia (derivada da função com argumento -x):
\frac{d}{dx}\operatorname{Ai}(-x) = -\operatorname{Ai}'(-x),\qquad \frac{d}{dx}\operatorname{Bi}(-x) = -\operatorname{Bi}'(-x),
onde \operatorname{Ai}' e \operatorname{Bi}' denotam derivadas em relação ao argumento. Então
u'(x) = -\bigl(C_{1}\operatorname{Ai}'(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}'(-x)\bigr).
Agora
y(x) = -\frac{u'(x)}{u(x)} = -\frac{-\bigl(C_{1}\operatorname{Ai}'(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}'(-x)\bigr)} {C_{1}\operatorname{Ai}(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}(-x)}.
Simplificando o sinal,
y(x)=\frac{C_{1}\operatorname{Ai}'(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}'(-x)} {C_{1}\operatorname{Ai}(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}(-x)}.
Isto é a solução geral implícita da Riccati dada. As constantes C_{1},C_{2} não são simultaneamente nulas; diferentes escolhas parametram todas as soluções (exceto nos pontos onde o denominador se anula, que correspondem a singularidades das soluções y).

Passo 6

Relação com a sugestão y=y_{p}+\dfrac{1}{v} (explicação da equivalência e como obter y_{p} a partir de u):
  • Se tivermos uma solução particular y_{p} da Riccati, a substituição y=y_{p}+\dfrac{1}{v} leva a uma equação linear de primeira ordem para v. Vamos mostrar isso de modo geral (passo-a-passo), porque ilustra porque achar uma única solução particular permite gerar a solução geral.
    Calcule y'=y_{p}'-v'/v^{2}. Substituindo em \dfrac{dy}{dx}=y^{2}+x e usando que y_{p} satisfaça y_{p}'=y_{p}^{2}+x, obtemos, após cancelamentos,
    -\frac{v'}{v^{2}} = \frac{2y_{p}}{v} + \frac{1}{v^{2}}.
    Multiplicando por v^{2}:
    -v' = 2y_{p} v + 1,
    ou seja
    v' + 2y_{p} v = -1,
    que é uma equação linear de primeira ordem em v. Pode-se resolver por fator integrante \mu(x)=\exp\!\bigl(2\int y_{p}dx\bigr).
  • Como conectar isso com a transformação que usei: se u_{1} é uma solução de u''+xu=0, então y_{p}=-u_{1}'/u_{1} é uma solução particular da Riccati. Assim a solução geral obtida por integrar a equação linear para v (com fator integrante \mu=u_{1}^{-2} até constantes) conduz a
    y = \frac{C_{1}\operatorname{Ai}'(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}'(-x)} {C_{1}\operatorname{Ai}(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}(-x)},
    ou equivalentemente a escrever a solução geral u=C_{1}u_{1}+C_{2}u_{2} e y=-u'/u. Ou seja: a rota "achar uma solução particular y_{p} e usar y=y_{p}+1/v" é equivalente, em prática, a achar uma solução u_{1} de u''+xu=0 (pois y_{p}=-u_{1}'/u_{1}) e depois obter a solução geral via a equação linear para v; isso reproduz a combinação linear das duas soluções fundamentais de u''+xu=0.

Passo 7

Comentários finais e interpretação: a solução geral da Riccati não é expressa por funções elementares simples; ela é escrita em termos das funções de Airy e suas derivadas. Pontos onde C_{1}\operatorname{Ai}(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}(-x)=0 são pontos singulares da solução y(x) (explosão vertical), compatível com o fato de soluções de Riccati poderem ter polos em tempo finito. As constantes C_{1},C_{2} são determinadas por condições iniciais, caso existam.

Resposta

y(x)=\frac{C_{1}\operatorname{Ai}'(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}'(-x)} {C_{1}\operatorname{Ai}(-x)+C_{2}\operatorname{Bi}(-x)},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (não simultaneamente nulas) e \operatorname{Ai}, \operatorname{Bi} são as funções de Airy.

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