Equação de Riccati Resolva a equação de Riccati:
Sugestão: encontre uma solução particular
e use a substituição
.
Observação: Utilize técnicas adequadas em cada tipo de equação - verificação de exatidão, fator integrante, substituições ou métodos diretos - e justifique cada passo de sua solução.
Passo 1
Enunciado: Resolver a equação de Riccati
O que o problema pede: encontrar a família geral de soluções
que satisfazem essa equação diferencial.
Informações dadas:
é uma equação de Riccati (termo quadrático
presente). Foi sugerido: encontrar uma solução particular
e usar a substituição
. O enunciado também pede justificativas e uso de técnicas adequadas.
Observação: vou justificar o método escolhido ao longo da resolução. Não há uma solução particular algébrica simples (polinomial/racional elementar) óbvia para essa equação; por isso vou usar uma transformação padrão que reduz Riccati a uma equação linear de segunda ordem, resolver essa equação e voltar à solução de
. Depois mostrarei a relação com a substituição sugerida
.
Passo 2
Motivação do método e escolha: é uma técnica clássica para Riccati usar a substituição
onde
e
. Vou explicar por que isso é útil: se colocarmos
e substituir na equação de Riccati, as parcelas quadráticas em
e a derivada
se combinam de modo a eliminar o termo
, produzindo uma equação linear de segunda ordem para
. Essa equação linear, embora não tenha solução elementar em termos de funções elementares, é uma equação conhecida cujas soluções são expressas por funções especiais (funções de Airy). Essa rota dá a forma geral da solução de
. Vou fazer passo a passo a derivação algébrica.
Passo 3
Calcule
em função de
quando
. Aplicando a regra do quociente (ou produto):
Derivando ambos os lados em relação a
:
Repare que podemos escrever isso como
Agora calcule
:
Substituindo
e
na equação original
, obtemos
Os termos
cancelam-se dos dois lados, sobrando
Multiplicando por
chegamos à equação linear de segunda ordem
Portanto, a substituição
transforma a Riccati dada numa equação linear
Passo 4
Resolver a equação linear de segunda ordem
Comentários didáticos: essa é uma forma da equação de Airy. A equação de Airy padrão é
cuja solução fundamental é dada pelas funções de Airy
e
. Para mapear a nossa equação em
para a forma padrão, fazemos a substituição
. De fato, se definirmos
com
, então
equivale exatamente à nossa equação. Assim as soluções gerais de
são combinações lineares de
e
.
Portanto, a solução geral para
é
onde
e
são constantes arbitrárias e
,
são as funções de Airy (funções especiais bem conhecidas; não expressíveis por funções elementares, mas tabuladas e com propriedades bem definidas).
Breve nota sobre
e
: elas são soluções linearmente independentes da equação
; têm derivadas
e
e validade para todos
. Não precisamos entrar na série ou integral definidora aqui, apenas é importante saber que essas funções são as soluções fundamentais.
Passo 5
Voltar à variável
. Lembrando que
, calculamos
para
. Pelo efeito da cadeia (derivada da função com argumento
):
onde
e
denotam derivadas em relação ao argumento. Então
Agora
Simplificando o sinal,
Isto é a solução geral implícita da Riccati dada. As constantes
não são simultaneamente nulas; diferentes escolhas parametram todas as soluções (exceto nos pontos onde o denominador se anula, que correspondem a singularidades das soluções
).
Passo 6
Relação com a sugestão
(explicação da equivalência e como obter
a partir de
):
-
Se tivermos uma solução particular
da Riccati, a substituição leva a uma equação linear de primeira ordem para . Vamos mostrar isso de modo geral (passo-a-passo), porque ilustra porque achar uma única solução particular permite gerar a solução geral.
Calcule. Substituindo em e usando que satisfaça , obtemos, após cancelamentos, Multiplicando por: ou sejaque é uma equação linear de primeira ordem em. Pode-se resolver por fator integrante . -
Como conectar isso com a transformação que usei: se
é uma solução de , então é uma solução particular da Riccati. Assim a solução geral obtida por integrar a equação linear para (com fator integrante até constantes) conduz a ou equivalentemente a escrever a solução gerale . Ou seja: a rota "achar uma solução particular e usar " é equivalente, em prática, a achar uma solução de (pois ) e depois obter a solução geral via a equação linear para ; isso reproduz a combinação linear das duas soluções fundamentais de .
Passo 7
Comentários finais e interpretação: a solução geral da Riccati não é expressa por funções elementares simples; ela é escrita em termos das funções de Airy e suas derivadas. Pontos onde
são pontos singulares da solução
(explosão vertical), compatível com o fato de soluções de Riccati poderem ter polos em tempo finito. As constantes
são determinadas por condições iniciais, caso existam.
Resposta
onde
e
são constantes arbitrárias (não simultaneamente nulas) e
,
são as funções de Airy.