Equação de Bernoulli com Condição Inicial Resolva o PVI:
Passo 1
O enunciado pede que eu resolva o problema de valor inicial (PVI)
Informações importantes dadas:
Meta do problema: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Passo 2
Identificação do tipo de equação e escolha do método (explicação didática).
A equação tem a forma
A equação tem a forma
com
,
e
. Esse tipo de equação é resolvido por uma substituição que transforma em uma equação linear: definimos uma nova função
relacionada a
por
Aqui
, portanto vou usar a substituição
Eu explico por que: essa escolha simplifica os termos em potências de
de modo que a equação resultante para
será linear em
, algo que já sabemos resolver.
Passo 3
Calcular
em função de
e
(regra da cadeia).
Se , então derivando em relação a
pela regra da cadeia:
Se
Aqui eu mostro o que cada termo significa:
é
; o fator
vem da derivada de
em relação a
; e
é a derivada de
em relação a
.
Passo 4
Substituir
da equação original dentro de
.
Da equação original obtemos
Da equação original obtemos
Divido essa expressão por
(ou seja, multiplico por
) para aparecer
que aparece em
:
Agora multiplico por
(porque
):
Lembrando que
, substituo
por
:
Passo 5
Colocar a equação em forma linear padrão para
.
Reescrevendo:
Reescrevendo:
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
, do tipo
com
e
. Agora vou resolver essa equação linear usando fator integrante.
Passo 6
Encontrar o fator integrante e multiplicar a equação.
O fator integrante é
O fator integrante é
Multiplico toda a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
. Portanto
Passo 7
Integrar ambos os lados em relação a
.
onde
é constante de integração. Agora calculo a integral
por partes.
Passo 8
Calcular a integral
por partes, passo a passo.
Defino primeiro a integral sem o fator :
Defino primeiro a integral sem o fator
Faço integração por partes com
(logo
) e
(logo
). Então
Calculo
, então
Voltando à integral original:
Passo 9
Substituir a integral de volta e isolar
.
Temos
Temos
Multiplico ambos os lados por
para obter
:
Passo 10
Aplicar a condição inicial para determinar
.
A condição inicial é . Lembro que
, então
A condição inicial é
Avalio a expressão de
em
:
Igualando a
:
Portanto
Passo 11
Voltar à variável
e escolher o sinal adequado usando a condição inicial.
Lembre que , então
Lembre que
Logo
Agora uso
para escolher o sinal positivo. Assim a solução do PVI é
Opcionalmente posso simplificar escrevendo o denominador com denominador comum
:
então