Equação de Bernoulli com Condição Inicial Resolva o PVI:
\frac{d y}{d x}+2 y=x y^{3}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado pede que eu resolva o problema de valor inicial (PVI)
\frac{dy}{dx}+2y = x y^{3}, \qquad y(0)=1.
Informações importantes dadas:
\text{(i)}\\ \frac{dy}{dx}+2y = x y^{3};\qquad \text{(ii)}\\ y(0)=1.
Meta do problema: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.

Passo 2

Identificação do tipo de equação e escolha do método (explicação didática).
A equação tem a forma
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y = Q(x)\,y^{n}
com P(x)=2, Q(x)=x e n=3. Esse tipo de equação é resolvido por uma substituição que transforma em uma equação linear: definimos uma nova função u(x) relacionada a y por
u = y^{1-n}.
Aqui 1-n = 1-3 = -2, portanto vou usar a substituição
u = y^{-2}.
Eu explico por que: essa escolha simplifica os termos em potências de y de modo que a equação resultante para u será linear em u, algo que já sabemos resolver.

Passo 3

Calcular du/dx em função de y e dy/dx (regra da cadeia).
Se u = y^{-2}, então derivando em relação a x pela regra da cadeia:
\frac{du}{dx} = -2 y^{-3}\,\frac{dy}{dx}.
Aqui eu mostro o que cada termo significa: y^{-3} é 1/y^{3}; o fator -2 vem da derivada de y^{-2} em relação a y; e \frac{dy}{dx} é a derivada de y em relação a x.

Passo 4

Substituir \frac{dy}{dx} da equação original dentro de \frac{du}{dx}.
Da equação original obtemos
\frac{dy}{dx} = x y^{3} - 2y.
Divido essa expressão por y^{3} (ou seja, multiplico por y^{-3}) para aparecer y^{-3}\frac{dy}{dx} que aparece em \frac{du}{dx}:
y^{-3}\frac{dy}{dx} = x - 2 y^{-2}.
Agora multiplico por -2 (porque \frac{du}{dx} = -2 y^{-3}\frac{dy}{dx}):
\frac{du}{dx} = -2\bigl(x - 2 y^{-2}\bigr).
Lembrando que y^{-2}=u, substituo y^{-2} por u:
\frac{du}{dx} = -2x + 4u.

Passo 5

Colocar a equação em forma linear padrão para u.
Reescrevendo:
\frac{du}{dx} - 4u = -2x.
Isto é uma equação diferencial linear de primeira ordem para u(x), do tipo
\frac{du}{dx} + p(x)u = g(x),
com p(x)=-4 e g(x)=-2x. Agora vou resolver essa equação linear usando fator integrante.

Passo 6

Encontrar o fator integrante e multiplicar a equação.
O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int (-4)\,dx} = e^{-4x}.
Multiplico toda a equação por \mu(x)=e^{-4x}:
e^{-4x}\frac{du}{dx} - 4 e^{-4x} u = -2x e^{-4x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto \frac{d}{dx}\bigl(e^{-4x} u\bigr). Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(e^{-4x} u\bigr) = -2x e^{-4x}.

Passo 7

Integrar ambos os lados em relação a x.
e^{-4x} u = \int -2x e^{-4x}\,dx + C,
onde C é constante de integração. Agora calculo a integral \int -2x e^{-4x}\,dx por partes.

Passo 8

Calcular a integral \int -2x e^{-4x}\,dx por partes, passo a passo.
Defino primeiro a integral sem o fator -2:
J = \int x e^{-4x}\,dx.
Faço integração por partes com a=x (logo da=dx) e db=e^{-4x}dx (logo b=\int e^{-4x}dx = -\tfrac{1}{4}e^{-4x}). Então
J = x\left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right) - \int 1\cdot\left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right)dx = -\tfrac{1}{4}x e^{-4x} + \tfrac{1}{4}\int e^{-4x}dx.
Calculo \int e^{-4x}dx = -\tfrac{1}{4}e^{-4x}, então
J = -\tfrac{1}{4}x e^{-4x} + \tfrac{1}{4}\left(-\tfrac{1}{4}e^{-4x}\right) = -e^{-4x}\left(\tfrac{1}{4}x + \tfrac{1}{16}\right).
Voltando à integral original:
\int -2x e^{-4x}\,dx = -2 J = -2\left[-e^{-4x}\left(\tfrac{1}{4}x + \tfrac{1}{16}\right)\right] = e^{-4x}\left(\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{8}\right).

Passo 9

Substituir a integral de volta e isolar u.
Temos
e^{-4x} u = e^{-4x}\left(\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{8}\right) + C.
Multiplico ambos os lados por e^{4x} para obter u:
u = \tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{8} + C e^{4x}.

Passo 10

Aplicar a condição inicial para determinar C.
A condição inicial é y(0)=1. Lembro que u=y^{-2}, então
u(0) = y(0)^{-2} = 1^{-2} = 1.
Avalio a expressão de u em x=0:
u(0) = 0 + \tfrac{1}{8} + C e^{0} = \tfrac{1}{8} + C.
Igualando a 1:
1 = \tfrac{1}{8} + C \quad\Rightarrow\quad C = \tfrac{7}{8}.
Portanto
u(x) = \tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{7}{8} e^{4x}.

Passo 11

Voltar à variável y e escolher o sinal adequado usando a condição inicial.
Lembre que u=y^{-2}, então
y^{-2} = \tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{7}{8} e^{4x}.
Logo
y(x) = \pm \frac{1}{\sqrt{\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{7}{8} e^{4x}}}.
Agora uso y(0)=1>0 para escolher o sinal positivo. Assim a solução do PVI é
y(x) = \frac{1}{\sqrt{\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{7}{8} e^{4x}}}.
Opcionalmente posso simplificar escrevendo o denominador com denominador comum 8:
\tfrac{x}{2} + \tfrac{1}{8} + \tfrac{7}{8} e^{4x} = \tfrac{4x + 1 + 7 e^{4x}}{8},
então
y(x) = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{4x + 1 + 7 e^{4x}}}.

Resposta

y(x)=\frac{1}{\sqrt{\tfrac{x}{2}+\tfrac{1}{8}+\tfrac{7}{8}e^{4x}}}

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