Obter f(40) usando um polinômio interpolador de Newton de grau 3 (4 pontos). Considere a seguinte tabela:
xi f(xi)
30 0.5
35 0.574
45 0.707
50 0.766

Passo 1

Ok, vamos resolver esse exercício! A gente precisa encontrar o valor de usando um polinômio interpolador de Newton de grau 3. Isso faz parte da matéria de Interpolação Polinomial, especificamente usando o método de Newton. Para isso, vamos precisar dos valores da tabela que você forneceu e entender como montar o polinômio de Newton passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|c|c| hline xi & f(xi) hline 30 & 0.5 35 & 0.574 45 & 0.707 50 & 0.766 hline

Passo 3

O próximo passo é calcular as diferenças divididas. As diferenças divididas de Newton ajudam a construir o polinômio interpolador. Vamos começar organizando uma tabela para calcular essas diferenças.

Passo 4

Primeiro, listamos os c|c xi & f(xi) hline 30 & 0.5 35 & 0.574 45 & 0.707 50 & 0.766 e :

Passo 5

Agora, calculamos as primeiras diferenças divididas:
f[x0,x1] = f(x1) - f(x0)x1 - x0 = 0.574 - 0.535 - 30 = 0.0745 = 0.0148
f[x1,x2] = 0.707 - 0.57445 - 35 = 0.13310 = 0.0133
f[x2,x3] = 0.766 - 0.70750 - 45 = 0.0595 = 0.0118

Passo 6

Em seguida, calculamos as segundas diferenças divididas:
f[x0,x1,x2] = f[x1,x2] - f[x0,x1]x2 - x0 = 0.0133 - 0.014845 - 30 = -0.001515 = -0.0001
f[x1,x2,x3] = 0.0118 - 0.013350 - 35 = -0.001515 = -0.0001

Passo 7

Agora, calculamos a terceira diferença dividida:
f[x0,x1,x2,x3] = f[x1,x2,x3] - f[x0,x1,x2]x3 - x0 = -0.0001 - (-0.0001)50 - 30 = 020 = 0

Passo 8

Com todas as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A fórmula geral é:
P3(x) = f(x0) + f[x0,x1](x - x0) + f[x0,x1,x2](x - x0)(x - x1) + f[x0,x1,x2,x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores que encontramos:
P3(x) = 0.5 + 0.0148(x - 30) - 0.0001(x - 30)(x - 35) + 0(x - 30)(x - 35)(x - 45)
Como a última diferença dividida é zero, o último termo desaparece:
P3(x) = 0.5 + 0.0148(x - 30) - 0.0001(x - 30)(x - 35)

Passo 9

Agora, vamos calcular P3(40) = 0.5 + 0.0148(40 - 30) - 0.0001(40 - 30)(40 - 35) :
Primeiro, substituímos 0.0148 times 10 = 0.148 :
0.0001 times 10 times 5 = 0.005
Calculando cada parte:
P3(40) = 0.5 + 0.148 - 0.005 = 0.643
Então:

Resposta

Portanto, o valor de usando o polinômio interpolador de Newton de grau 3 é aproximadamente 0.643.

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