Seja uma função f com seu gráfico passando pelos pontos (0,0),(1,2) e (3,4). Responda os seguintes itens:
b) Através do polinômio de interpolação de Lagrange determinar o valor aproximado de f(2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função cujo gráfico passa pelos pontos , e . A nossa missão aqui é usar o polinômio de interpolação de Lagrange para estimar o valor de . Isso significa que vamos encontrar um polinômio que passa por esses três pontos e, com ele, calcular quanto a função vale quando .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Lagrange. Ele é uma maneira de encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. A fórmula geral para o polinômio de Lagrange P(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x) com Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj pontos é:
Onde cada é chamado de polinômio base de Lagrange e é dado por:
Nesse caso, temos 3 pontos, então .

Passo 3

Vamos identificar nossos pontos:
Agora, vamos calcular cada polinômio base , e .

Passo 4

Calculando L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x0 - x1)(x0 - x2) = (x - 1)(x - 3)(0 - 1)(0 - 3) = (x - 1)(x - 3)3 :

Passo 5

Calculando L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x1 - x0)(x1 - x2) = (x - 0)(x - 3)(1 - 0)(1 - 3) = x(x - 3)-2 = -x(x - 3)2 :

Passo 6

Calculando L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x2 - x0)(x2 - x1) = (x - 0)(x - 1)(3 - 0)(3 - 1) = x(x - 1)6 :

Passo 7

Agora que temos os polinômios base, vamos montar o polinômio de Lagrange P(x) = y0 cdot L0(x) + y1 cdot L1(x) + y2 cdot L2(x) :
P(x) = 0 cdot L0(x) + 2 cdot (-x(x - 3)2) + 4 cdot (x(x - 1)6)
Substituindo os valores:

Passo 8

Vamos simplificar:
P(x) = 0 - x(x - 3) + 46x(x - 1) = -x^2 + 3x + 23x^2 - 23x
Combinando os termos semelhantes:
P(x) = (-1 + 23)x^2 + (3 - 23)x = -13x^2 + 73x

Passo 9

Agora, para encontrar P(2) = -13(2)^2 + 73(2) = -43 + 143 = 103 approx 3,333 , substituímos na expressão do polinômio:

Resposta

O valor aproximado de é ou aproximadamente 3,333.

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