Seja uma função
com seu gráfico passando pelos pontos
e
. Responda os seguintes itens:
b) Através do polinômio de interpolação de Lagrange determinar o valor aproximado de
.
b) Através do polinômio de interpolação de Lagrange determinar o valor aproximado de
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
cujo gráfico passa pelos pontos
,
e
. A nossa missão aqui é usar o polinômio de interpolação de Lagrange para estimar o valor de
. Isso significa que vamos encontrar um polinômio que passa por esses três pontos e, com ele, calcular quanto a função vale quando
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Lagrange. Ele é uma maneira de encontrar um polinômio que passa exatamente por um conjunto de pontos dados. A fórmula geral para o polinômio de Lagrange
com
pontos é:
Onde cada
é chamado de polinômio base de Lagrange e é dado por:
Nesse caso, temos 3 pontos, então
.
Passo 3
Vamos identificar nossos pontos:
Agora, vamos calcular cada polinômio base
,
e
.
Passo 4
Calculando
:
Passo 5
Calculando
:
Passo 6
Calculando
:
Passo 7
Agora que temos os polinômios base, vamos montar o polinômio de Lagrange
:
Substituindo os valores:
Passo 8
Vamos simplificar:
Combinando os termos semelhantes:
Passo 9
Agora, para encontrar
, substituímos
na expressão do polinômio:
Resposta
O valor aproximado de
é
ou aproximadamente 3,333.