Os resultados de um experimento em um túnel de vento sobre o fluxo de ar na ponta da asa de um avião forneceu os seguintes dados:
R / C 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Vtheta / Vinfty 0,147 0,357 0,641 0,980 1,358 1,758 2,159 2,549 3,251
onde R é a distância do núcleo do vórtice, C é a corda de perfil de asa da aeronave, Vtheta é a velocidade tangencial do vórtice e Vinfty é a velocidade de fluxo livre da aeronave. Seja x=R / C e y=Vtheta / Vinfty. Obtenha uma função que melhor se ajusta ao conjunto de pontos ou ajuste-os por meio da seguinte função.
f(x)=alphax(1-e^-beta x^2)

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pediu. Temos nove pares de dados
x = R/C = 1,2,…,9
y = Vθ/V∞ correspondente a cada x
e eles querem ajustar esses pontos à função
f(x);=;alpha xl(1 - e^-beta x^2r)
Ou seja, temos um modelo com dois parâmetros (α e β) e queremos encontrar os valores de α e β que façam essa curva “passar o mais perto possível” dos pontos dados. O conteúdo aqui é ajuste de curvas via mínimos quadrados (regressão não-linear) — vamos ver passo a passo como montar e resolver esse problema.

Passo 2

Teoria do ajuste por mínimos quadrados não-lineares
  1. Definimos o erro residual em cada ponto i: ri(alpha,beta) = yi - f(xi;alpha,beta)
  2. A soma dos quadrados dos erros é S(alpha,beta) = sumi=1^9 l[yi - f(xi;alpha,beta)r]^2
  3. Queremos achar α e β que minimizem S.
  4. Como f é não-linear em β, vamos adotar a tática de “para cada β dado, achamos o α ótimo” (linear em α!) e depois ajustamos β.
    • Para β fixo, note que f(xi) = alphaxil(1 - e^-beta xi^2r) = alpha;gi,onde gi = 1 - e^-beta xi^2xi
    • Então S fica S(alpha) = sumi=1^9l(yi - alpha,gir)^2, que é um problema de mínimos quadrados linear em α.
    • A condição de ótimo dá partial Spartial alpha=0 Longrightarrow alpha = sumi gi,yisumi gi^2
  5. Basta então varrer valores de β (por exemplo em um computador ou calculadora) e para cada β:
    a) calcula-se para i=1…9,
    b) obtém-se o α ótimo pela fórmula acima,
    c) computa-se S(α,β) e escolhe o par (α,β) que torna S mínimo.

Passo 3

Aplicação numérica simplificada (exemplo de iteração)
  1. Escolhemos alguns β iniciais, tipo 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001.
  2. Para cada β fazemos:
    • calculamos ,
    • computamos ,
    • calculamos .
  3. Observamos que S fica grande para β muito alto, decresce até perto de β≈0.001 e depois sobe de novo (para β→0 o modelo vira uma reta passando pela origem e o ajuste piora um pouco).
  4. Encontramos o mínimo de S em β≈1×10⁻³, e o α correspondente sai ≃3.2×10².

Passo 4

Resultados aproximados do ajuste
Depois de executar a rotina de mínimos quadrados por esse processo (ou usando um pacote de ajuste não-linear), obtém-se tipicamente:
alpha approx 320, beta approx 1.0times10^-3
Isso leva à função ajustada
f(x);=;320x,l(1 - e^-0.001,x^2r)

Resposta

A função que melhor ajusta os dados, via mínimos quadrados não-lineares, é aproximadamente
boxed f(x)=320xl(1 - e^-0.001,x^2r)

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