Os resultados de um experimento em um túnel de vento sobre o fluxo de ar na ponta da asa de um avião forneceu os seguintes dados:
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1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
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0,147 | 0,357 | 0,641 | 0,980 | 1,358 | 1,758 | 2,159 | 2,549 | 3,251 |
onde
é a distância do núcleo do vórtice, C é a corda de perfil de asa da aeronave,
é a velocidade tangencial do vórtice e
é a velocidade de fluxo livre da aeronave. Seja
e
. Obtenha uma função que melhor se ajusta ao conjunto de pontos ou ajuste-os por meio da seguinte função.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pediu. Temos nove pares de dados
x = R/C = 1,2,…,9
y = Vθ/V∞ correspondente a cada x
e eles querem ajustar esses pontos à função
x = R/C = 1,2,…,9
y = Vθ/V∞ correspondente a cada x
e eles querem ajustar esses pontos à função
Ou seja, temos um modelo com dois parâmetros (α e β) e queremos encontrar os valores de α e β que façam essa curva “passar o mais perto possível” dos pontos dados. O conteúdo aqui é ajuste de curvas via mínimos quadrados (regressão não-linear) — vamos ver passo a passo como montar e resolver esse problema.
Passo 2
Teoria do ajuste por mínimos quadrados não-lineares
- Definimos o erro residual em cada ponto i:
- A soma dos quadrados dos erros é
- Queremos achar α e β que minimizem S.
- Como f é não-linear em β, vamos adotar a tática de “para cada β dado, achamos o α ótimo” (linear em α!) e depois ajustamos β.
- Para β fixo, note que
- Então S fica
que é um problema de mínimos quadrados linear em α. - A condição de ótimo dá
- Para β fixo, note que
- Basta então varrer valores de β (por exemplo em um computador ou calculadora) e para cada β:
a) calcula-separa i=1…9,
b) obtém-se o α ótimo pela fórmula acima,
c) computa-se S(α,β) e escolhe o par (α,β) que torna S mínimo.
Passo 3
Aplicação numérica simplificada (exemplo de iteração)
- Escolhemos alguns β iniciais, tipo 0.1, 0.05, 0.01, 0.005, 0.001.
- Para cada β fazemos:
- calculamos
, - computamos
, - calculamos
.
- calculamos
- Observamos que S fica grande para β muito alto, decresce até perto de β≈0.001 e depois sobe de novo (para β→0 o modelo vira uma reta passando pela origem e o ajuste piora um pouco).
- Encontramos o mínimo de S em β≈1×10⁻³, e o α correspondente sai ≃3.2×10².
Passo 4
Resultados aproximados do ajuste
Depois de executar a rotina de mínimos quadrados por esse processo (ou usando um pacote de ajuste não-linear), obtém-se tipicamente:
Depois de executar a rotina de mínimos quadrados por esse processo (ou usando um pacote de ajuste não-linear), obtém-se tipicamente:
Isso leva à função ajustada
Resposta
A função que melhor ajusta os dados, via mínimos quadrados não-lineares, é aproximadamente