(Olimpíada de Matemática da Bielorrússia - modificada) Sejam
as três raízes reais e distintas do polinômio
pertencente no intervalo
. Se definirmos cada raiz na forma trigonométrica como
e
, o valor exato da soma
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá o polinômio
e diz que suas três raízes reais e distintas
pertencem ao intervalo
. Define-se cada raiz em forma trigonométrica por
,
e
.
A pergunta é: qual é o valor exato da soma ? (fornecem alternativas).
A pergunta é: qual é o valor exato da soma
Informações relevantes extraídas do enunciado:
-
. - As raízes
são reais, distintas e . - Cada raiz foi reescrita como
, ou seja , , . - Precisamos encontrar
.
Passo 2
Vou usar a identidade trigonométrica do ângulo triplo para o cosseno, que relaciona
com
. Vou derivá-la passo a passo para não deixar dúvidas.
Começo usando
. Usando a fórmula do cosseno da soma:
Agora substituo
e
:
Como
, a segunda parcela fica
Então
Fatorando
e simplificando:
Ou seja, a identidade final é
Passo 3
Agora uso a identidade no polinômio. Se
, então
Considere
. Observe que
Substituindo
,
Como
são raízes de
, para cada raiz
vale
. Logo para cada
associado a uma raiz:
Isso dá a equação
Passo 4
Resolver
. A equação
tem soluções gerais
Aplicando com
, obtemos
Passo 5
Agora precisamos escolher, entre essas soluções, exatamente três valores de
que correspondam às três raízes
. Como
, cada
satisfaz
, o que corresponde a
(o intervalo aberto onde o cosseno varia estritamente de
a
). Portanto procuramos as soluções
da forma
que estejam no intervalo
.
Testando valores de
:
- Para
: . Apenas pertence a . - Para
: .
Calcule as duas opções:
Ambas estão em
.
- Para
: são maiores que , então não entram. - Valores negativos de
geram .
Assim as três soluções no intervalo
são
Passo 6
Agora somo as três
:
Resposta
c)