(Olimpíada de Matemática da Bielorrússia - modificada) Sejam r, s, t as três raízes reais e distintas do polinômio Q(x)=8 \mathrm{x}^{3}-6 x-1 pertencente no intervalo ]-1,1. Se definirmos cada raiz na forma trigonométrica como \mathrm{r}=\cos \left(\theta_{1}\right), \mathrm{s}=\cos \left(\theta_{2}\right) e \mathrm{t}=\cos \left(\theta_{3}\right), o valor exato da soma \theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3} é igual a:
a) \pi
b) \frac{7 \pi}{6}
c) \frac{13 \pi}{9}
d) \frac{3 \pi}{2}
e) \frac{17 \pi}{9}

Passo 1

O enunciado dá o polinômio Q(x)=8x^{3}-6x-1 e diz que suas três raízes reais e distintas r,s,t pertencem ao intervalo ]-1,1[. Define-se cada raiz em forma trigonométrica por r=\cos\left(\theta_{1}\right), s=\cos\left(\theta_{2}\right) e t=\cos\left(\theta_{3}\right).
A pergunta é: qual é o valor exato da soma \theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}? (fornecem alternativas).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Q(x)=8x^{3}-6x-1.
  • As raízes r,s,t são reais, distintas e r,s,t\in(-1,1).
  • Cada raiz foi reescrita como x=\cos(\theta), ou seja r=\cos(\theta_{1}), s=\cos(\theta_{2}), t=\cos(\theta_{3}).
  • Precisamos encontrar \theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3}.

Passo 2

Vou usar a identidade trigonométrica do ângulo triplo para o cosseno, que relaciona \cos(3\theta) com \cos\theta. Vou derivá-la passo a passo para não deixar dúvidas.
Começo usando \cos(3\theta)=\cos(2\theta+\theta). Usando a fórmula do cosseno da soma:
\cos(3\theta)=\cos(2\theta)\cos\theta-\sin(2\theta)\sin\theta.
Agora substituo \cos(2\theta)=2\cos^{2}\theta-1 e \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta:
\cos(3\theta)=(2\cos^{2}\theta-1)\cos\theta-(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta.
Como \sin^{2}\theta=1-\cos^{2}\theta, a segunda parcela fica
(2\sin\theta\cos\theta)\sin\theta=2\cos\theta\sin^{2}\theta=2\cos\theta(1-\cos^{2}\theta).
Então
\cos(3\theta)=(2\cos^{2}\theta-1)\cos\theta-2\cos\theta(1-\cos^{2}\theta).
Fatorando \cos\theta e simplificando:
\cos(3\theta)=\cos\theta\bigl(2\cos^{2}\theta-1-2+2\cos^{2}\theta\bigr) =\cos\theta\bigl(4\cos^{2}\theta-3\bigr).
Ou seja, a identidade final é
\cos(3\theta)=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta.

Passo 3

Agora uso a identidade no polinômio. Se x=\cos\theta, então
4x^{3}-3x=\cos(3\theta).
Considere Q(x)=8x^{3}-6x-1. Observe que
Q(x)=8x^{3}-6x-1=2(4x^{3}-3x)-1.
Substituindo x=\cos\theta,
Q(\cos\theta)=2\bigl(4\cos^{3}\theta-3\cos\theta\bigr)-1=2\cos(3\theta)-1.
Como r,s,t são raízes de Q, para cada raiz x=\cos\theta vale Q(\cos\theta)=0. Logo para cada \theta_{i} associado a uma raiz:
2\cos(3\theta_{i})-1=0.
Isso dá a equação
\cos(3\theta_{i})=\tfrac{1}{2}.

Passo 4

Resolver \cos(3\theta)=\tfrac{1}{2}. A equação \cos\alpha=\tfrac{1}{2} tem soluções gerais
\alpha=2\pi m\pm \tfrac{\pi}{3},\qquad m\in\mathbb{Z}.
Aplicando com \alpha=3\theta, obtemos
3\theta=2\pi m\pm \tfrac{\pi}{3}\quad\Rightarrow\quad \theta=\frac{2\pi m}{3}\pm \frac{\pi}{9},\qquad m\in\mathbb{Z}.

Passo 5

Agora precisamos escolher, entre essas soluções, exatamente três valores de \theta que correspondam às três raízes r,s,t. Como r,s,t\in(-1,1), cada r=\cos(\theta) satisfaz \cos(\theta)\in(-1,1), o que corresponde a \theta\in(0,\pi) (o intervalo aberto onde o cosseno varia estritamente de 1 a -1). Portanto procuramos as soluções \theta da forma \theta=\dfrac{2\pi m}{3}\pm\dfrac{\pi}{9} que estejam no intervalo (0,\pi).
Testando valores de m:
  • Para m=0: \theta= \pm \dfrac{\pi}{9}. Apenas \theta=\dfrac{\pi}{9} pertence a (0,\pi).
  • Para m=1: \theta=\dfrac{2\pi}{3}\pm \dfrac{\pi}{9}.
    Calcule as duas opções: \theta=\frac{2\pi}{3}-\frac{\pi}{9}=\frac{6\pi-\pi}{9}=\frac{5\pi}{9},
\theta=\frac{2\pi}{3}+\frac{\pi}{9}=\frac{6\pi+\pi}{9}=\frac{7\pi}{9}.
Ambas estão em (0,\pi).
  • Para m=2: \theta=\dfrac{4\pi}{3}\pm\dfrac{\pi}{9} são maiores que \pi, então não entram.
  • Valores negativos de m geram \theta\le 0.
Assim as três soluções no intervalo (0,\pi) são
\theta_{1}=\frac{\pi}{9},\qquad \theta_{2}=\frac{5\pi}{9},\qquad \theta_{3}=\frac{7\pi}{9}.

Passo 6

Agora somo as três \theta_{i}:
\theta_{1}+\theta_{2}+\theta_{3} =\frac{\pi}{9}+\frac{5\pi}{9}+\frac{7\pi}{9} =\frac{1+5+7}{9}\pi=\frac{13\pi}{9}.

Resposta

c) \frac{13\pi}{9}

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