Olimpiada de Matemática Singapura) Considere M o valor máximo da função trigonométrica f(x)=7 \operatorname{sen}\left(x+\frac{\pi}{7}\right)+8 \operatorname{sen}\left(x+\frac{10 \pi}{21}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=7\sin\!\left(x+\frac{\pi}{7}\right)+8\sin\!\left(x+\frac{10\pi}{21}\right)
e pede o valor máximo M dessa função quando x varia nos reais. Informações importantes fornecidas:
  • Os coeficientes são 7 e 8.
  • Os deslocamentos angulares são \alpha=\dfrac{\pi}{7} e \beta=\dfrac{10\pi}{21}.
  • A função está definida para todo x\in\mathbb{R}.
    O objetivo é encontrar o maior valor possível que f(x) pode assumir, ou seja M=\max_{x\in\mathbb{R}} f(x).

Passo 2

Vamos transformar a soma de senos numa só senoide com amplitude única. Primeiro, uso a identidade de soma:
\sin(x+\theta)=\sin x\cos\theta+\cos x\sin\theta.
Aplicando isso a cada termo de f(x) obtemos
f(x)=7\big(\sin x\cos\alpha+\cos x\sin\alpha\big)+8\big(\sin x\cos\beta+\cos x\sin\beta\big),
onde \alpha=\dfrac{\pi}{7} e \beta=\dfrac{10\pi}{21}. Agrupando termos em \sin x e \cos x define-se
C = 7\cos\alpha + 8\cos\beta,\qquad D = 7\sin\alpha + 8\sin\beta,
de modo que
f(x)=C\sin x + D\cos x.
Explicação didática: reescrever na forma C\sin x + D\cos x é útil porque qualquer combinação linear assim pode ser escrita como uma única senoide deslocada:
C\sin x + D\cos x = R\sin(x+\varphi),
com R>0 e algum ângulo \varphi. Para ver isso, observe
R\sin(x+\varphi)=R(\sin x\cos\varphi+\cos x\sin\varphi)=(R\cos\varphi)\sin x+(R\sin\varphi)\cos x.
Comparando coeficientes, basta escolher R e \varphi tais que
R\cos\varphi = C,\qquad R\sin\varphi = D.
Daqui segue imediatamente que
R=\sqrt{C^2+D^2},
porque R^2=(R\cos\varphi)^2+(R\sin\varphi)^2=C^2+D^2. Como \sin varia entre -1 e 1, o máximo de R\sin(x+\varphi) é R. Portanto
\max_{x} (C\sin x + D\cos x)=\sqrt{C^2+D^2}.

Passo 3

Agora calculamos C^2+D^2 em termos dos dados originais A=7,B=8,\alpha,\beta. Com C e D definidos acima,
\begin{aligned} C^2+D^2 &= \big(7\cos\alpha+8\cos\beta\big)^2 + \big(7\sin\alpha+8\sin\beta\big)^2 \\\ &=7^2(\cos^2\alpha+\sin^2\alpha)+8^2(\cos^2\beta+\sin^2\beta) \\\ &\qquad +2\cdot7\cdot8\big(\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta\big). \end{aligned}
Usando \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 e a identidade do cosseno da diferença
\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta,
obtemos a fórmula compacta
C^2+D^2 = 7^2 + 8^2 + 2\cdot7\cdot8\cos(\alpha-\beta).
Essa fórmula é muito útil: ela diz que a amplitude resultante é a magnitude do somatório vetorial dos dois termos senoidais, e depende apenas das magnitudes 7,8 e da diferença angular \alpha-\beta.

Passo 4

Calculemos \alpha-\beta. Com \alpha=\dfrac{\pi}{7} e \beta=\dfrac{10\pi}{21},
\alpha-\beta = \frac{\pi}{7}-\frac{10\pi}{21}=\frac{3\pi}{21}-\frac{10\pi}{21}=-\frac{7\pi}{21}=-\frac{\pi}{3}.
Como \cos é par, \cos\!\big(-\tfrac{\pi}{3}\big)=\cos\!\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\dfrac{1}{2}. Substituindo isso na expressão de C^2+D^2,
\begin{aligned} C^2+D^2 &= 7^2+8^2+2\cdot7\cdot8\cdot\frac{1}{2} \\\ &=49+64+7\cdot8 \\\ &=49+64+56 \\\ &=169. \end{aligned}
Portanto a amplitude resultante é
R=\sqrt{C^2+D^2}=\sqrt{169}=13.
Como explicado no Passo 2, o máximo de f(x) é exatamente essa amplitude R. Então
M=13.

Passo 5

Resumo intuitivo e dica rápida para a prova: sempre que tiver uma soma do tipo A\sin(x+\alpha)+B\sin(x+\beta), pode-se reduzir a forma a R\sin(x+\varphi) com
R=\sqrt{A^2+B^2+2AB\cos(\alpha-\beta)}.
Nesse problema concreto isso levou direto a R=13. Um exemplo simples extra para fixar a ideia: se \alpha=\beta então \cos(\alpha-\beta)=1 e R=\sqrt{A^2+B^2+2AB}=A+B, que é o esperado (duas senoides em fase somam-se em amplitude).

Resposta

13

Exercícios relacionados