Olimpiada de Matemática Singapura) Considere M o valor máximo da função trigonométrica
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede o valor máximo
dessa função quando
varia nos reais. Informações importantes fornecidas:
- Os coeficientes são
e . - Os deslocamentos angulares são
e . - A função está definida para todo
.
O objetivo é encontrar o maior valor possível quepode assumir, ou seja .
Passo 2
Vamos transformar a soma de senos numa só senoide com amplitude única. Primeiro, uso a identidade de soma:
Aplicando isso a cada termo de
obtemos
onde
e
. Agrupando termos em
e
define-se
de modo que
Explicação didática: reescrever na forma
é útil porque qualquer combinação linear assim pode ser escrita como uma única senoide deslocada:
com
e algum ângulo
. Para ver isso, observe
Comparando coeficientes, basta escolher
e
tais que
Daqui segue imediatamente que
porque
. Como
varia entre
e
, o máximo de
é
. Portanto
Passo 3
Agora calculamos
em termos dos dados originais
. Com
e
definidos acima,
Usando
e a identidade do cosseno da diferença
obtemos a fórmula compacta
Essa fórmula é muito útil: ela diz que a amplitude resultante é a magnitude do somatório vetorial dos dois termos senoidais, e depende apenas das magnitudes
e da diferença angular
.
Passo 4
Calculemos
. Com
e
,
Como
é par,
. Substituindo isso na expressão de
,
Portanto a amplitude resultante é
Como explicado no Passo 2, o máximo de
é exatamente essa amplitude
. Então
Passo 5
Resumo intuitivo e dica rápida para a prova: sempre que tiver uma soma do tipo
, pode-se reduzir a forma a
com
Nesse problema concreto isso levou direto a
. Um exemplo simples extra para fixar a ideia: se
então
e
, que é o esperado (duas senoides em fase somam-se em amplitude).