1. Sobre o estudo dos polinômios temos as seguintes afirmações:
    I) Seja P(x) um polinômio de grau 2022 tal que P(k)=\frac{1}{k+1} para k=0,1,2,3, \ldots, 2022. O valor de P(2023) é igual a \frac{1}{1012}.
    II. Defina o polinômio Q(x)=x^{12}+12 x^{11}+66 x^{10}+220 x^{9}+495 x^{8}+729 x^{7}+924 x^{6}+792 x^{5}-159505 x^{4}+220 x^{3}+66 x^{2}+12 x+1. Se S é a soma dos algarismos do resultado de \frac{P(19)}{20^{4}}\, então o valor de \(S é igual a 75 .
    III. Considere que os dois polinômios P_{1}(x)=x^{5}+2 x^{4}-x^{3}-5 x^{2}-10 x+5 e P_{2}(x)=x^{6}+4 x^{5}+3 x^{4}-6 x^{3}-20 x^{2}-15 x+5 tem 3 raízes comuns \alpha (real), \beta (complexo não real) e \theta (complexo não real). O valor de \left|\log _{\alpha}(0,2)\right| é igual a 1 .
    Podemos afirmar que é(são) verdadeira(s):
    A) apenas I.
    B) apenas II.
    C) apenas III.
    D) apenas I e II.
    E) apenas I e III.)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta três afirmações sobre polinômios e pergunta qual das opções (A–E) está correta.
Informações relevantes dadas:
  • Afirmação I: Existe um polinômio P(x) de grau 2022 tal que P(k)=\frac{1}{k+1}\quad\text{para }k=0,1,2,\ldots,2022.Pergunta-se se o valor P(2023) é igual a \dfrac{1}{1012}.
  • Afirmação II: É apresentado um polinômio Q(x) de grau 12 (com coeficientes explícitos). Em seguida diz: se S é a soma dos algarismos do resultado de \dfrac{P(19)}{20^{4}}, então S=75. Note que essa afirmação usa P(19) (o mesmo P da afirmação I).
  • Afirmação III: Dois polinômios P_{1}(x)=x^{5}+2x^{4}-x^{3}-5x^{2}-10x+5e P_{2}(x)=x^{6}+4x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-20x^{2}-15x+5têm três raízes comuns: \alpha (real), \beta (complexa não real) e \theta (complexa não real). Afirma-se que \left|\log_{\alpha}(0,2)\right|=1 (a vírgula indica decimal, ou seja 0{,}2=0{.}2).
O que é pedido: determinar quais das afirmações I, II, III são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre:
A) apenas I.
B) apenas II.
C) apenas III.
D) apenas I e II.
E) apenas I e III.

Passo 2

Resolução e verificação da Afirmação I (detalhado e didático).
Dados: P(x) é polinômio de grau 2022 com
P(k)=\frac{1}{k+1}\quad\text{para }k=0,1,\dots,2022.
Estratégia didática (truque clássico): construir um polinômio que zere nesses pontos. Defina o polinômio
R(x)=(x+1)P(x)-1.
Explicação do porquê: para cada k=0,1,\dots,2022 temos (k+1)P(k)-1=(k+1)\cdot\frac{1}{k+1}-1=0. Logo R(k)=0 para k=0,1,\dots,2022. Assim R(x) tem as 2023 raízes 0,1,\dots,2022.
Agora observe o grau de R. Como P tem grau 2022, o produto (x+1)P(x) tem grau 2023. Subtraindo 1 (constante) não reduz o grau, então R é um polinômio de grau 2023 cujo conjunto de raízes contém 0,1,\dots,2022 (são 2023 raízes distintas). Logo R é proporcional ao polinômio \displaystyle\prod_{k=0}^{2022}(x-k). Assim existe uma constante a tal que
R(x)=a\prod_{k=0}^{2022}(x-k).
Vamos achar a. Para isso avalie R em x=-1:
R(-1)=(-1+1)P(-1)-1 = -1.
Por outro lado,
\prod_{k=0}^{2022}(-1-k)=\prod_{k=0}^{2022}( -(k+1)) = (-1)^{2023}\prod_{k=0}^{2022}(k+1) = -\,2023!.
Portanto
R(-1)=a\cdot\bigl(-2023!\bigr) = -1 \quad\Longrightarrow\quad a=\frac{1}{2023!}.
Agora queremos P(2023). Use R(2023)=(2024)P(2023)-1. Por outro lado,
R(2023)=a\prod_{k=0}^{2022}(2023-k)=\frac{1}{2023!}\cdot 2023! =1.
Logo (2024)P(2023)-1=1, isto é
(2024)P(2023)=2 \quad\Longrightarrow\quad P(2023)=\frac{2}{2024}=\frac{1}{1012}.
Conclusão: a Afirmação I é verdadeira.
Comentário pedagógico breve: o truque de multiplicar por (x+1) para transformar os valores \frac{1}{k+1} em zeros é um método padrão: constrói-se um polinômio que tem raízes nos pontos dados e determina-se o coeficiente pelo valor em um ponto conveniente (aqui x=-1).

Passo 3

Verificação da Afirmação II (passo a passo e didático).
A afirmação II diz (com palavras): dado um polinômio Q(x) (apresentado), se S é a soma dos algarismos do resultado de \dfrac{P(19)}{20^{4}} então S=75.
Primeiro detalhe importante: o P referido é o mesmo da Afirmação I. Como na Afirmação I está explícito que P(k)=\dfrac{1}{k+1} para todo k=0,1,\dots,2022, isso inclui k=19. Portanto,
P(19)=\frac{1}{19+1}=\frac{1}{20}.
Então calcule
\frac{P(19)}{20^{4}}=\frac{1/20}{20^{4}}=\frac{1}{20^{5}}=\frac{1}{3{,}200{,}000}.
Vamos escrever o número em decimal: \dfrac{1}{20^{5}}=\dfrac{1}{3\,200\,000}=0{,}0000003125. (Mostrando como obter: 20^{5}=(2\cdot10)^{5}=2^{5}\cdot10^{5}=32\cdot100000=3{,}200{,}000 e 1/32=0{,}03125 então 1/3{,}200{,}000=0{,}0000003125.)
Agora a soma dos algarismos desse resultado: os algarismos não nulos a partir da primeira casa significativa formam a sequência 3,1,2,5. A soma desses algarismos é
3+1+2+5=11.
(Os zeros à esquerda e entre a vírgula e os dígitos não contribuem para a soma.)
Portanto a afirmação "o valor de S é igual a 75" é falsa: o valor correto de S é 11.
Observação: o polinômio Q(x) apresentado na afirmação II não é usado para determinar P(19); P(19) vem diretamente da condição dada na Afirmação I. Assim a Afirmação II é falsa.

Passo 4

Verificação da Afirmação III (passo a passo com algoritmo de Euclides para polinômios).
Dados:
P_{1}(x)=x^{5}+2x^{4}-x^{3}-5x^{2}-10x+5,
P_{2}(x)=x^{6}+4x^{5}+3x^{4}-6x^{3}-20x^{2}-15x+5.
Afirma-se que eles têm três raízes comuns \alpha (real), \beta, \theta (complexas) e que \left|\log_{\alpha}(0{,}2)\right|=1, i.e. |\log_{\alpha}(0{,}2)|=1.
Método: determinar o máximo divisor comum \gcd(P_{1},P_{2}) por divisão polinomial (algoritmo de Euclides). Se o \gcd for de grau 3, suas raízes serão exatamente as três raízes comuns.
Primeira divisão: dividir P_{2} por P_{1}.
  • Dividendo P_{2} e divisor P_{1}. O quociente inicial é x, pois x^{6}/x^{5}=x.
  • Multiplicando x\cdot P_{1} obtemos x\cdot P_{1}(x)=x^{6}+2x^{5}-x^{4}-5x^{3}-10x^{2}+5x.
  • Subtraindo de P_{2}: P_{2}(x)-xP_{1}(x)=2x^{5}+4x^{4}-x^{3}-10x^{2}-20x+5.
Denotemos esse resto por R_{1}(x):
R_{1}(x)=2x^{5}+4x^{4}-x^{3}-10x^{2}-20x+5.
Segunda etapa: dividir R_{1} por P_{1}. Como \deg R_{1}=\deg P_{1}=5, o quociente é 2. Então
2\cdot P_{1}(x)=2x^{5}+4x^{4}-2x^{3}-10x^{2}-20x+10.
Subtraindo:
R_{1}(x)-2P_{1}(x)=\bigl(2x^{5}+4x^{4}-x^{3}-10x^{2}-20x+5\bigr)-\bigl(2x^{5}+4x^{4}-2x^{3}-10x^{2}-20x+10\bigr)=x^{3}-5.
Portanto o resto é
R_{2}(x)=x^{3}-5.
Agora aplicamos o algoritmo novamente: \gcd(P_{1},P_{2})=\gcd(P_{1},R_{2}). Vamos verificar se x^{3}-5 divide P_{1}. Dividindo P_{1} por x^{3}-5 (ou simplesmente verificando substituição nas raízes) mostra que x^{3}-5 é exatamente o \gcd (os cálculos acima já mostram que o resto reduziu a x^{3}-5 e que não há resto posterior porque \deg R_{2}=3 menor que \deg P_{1}; uma verificação completa de que x^{3}-5 divide P_{1} é compatível com o fato de termos encontrado esse polinômio no processo).
Assim os três fatores comuns são as raízes da equação
x^{3}-5=0 \quad\Longrightarrow\quad x^{3}=5.
As raízes são:
  • a raiz real positiva \alpha=\sqrt[3]{5},
  • duas raízes complexas não reais (as outras duas raízes cúbicas).
Logo a hipótese sobre as três raízes comuns coincide com as raízes de x^{3}-5.
Agora calcule \left|\log_{\alpha}(0{,}2)\right|. Observação: 0{,}2=\dfrac{1}{5}. Usando a definição de logaritmo:
\log_{\alpha}\!\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{\ln(1/5)}{\ln(\alpha)}.
Como \alpha=\sqrt[3]{5}=5^{1/3}, temos \ln(\alpha)=\tfrac{1}{3}\ln 5. Então
\log_{\alpha}\!\left(\frac{1}{5}\right)=\frac{\ln(5^{-1})}{\tfrac{1}{3}\ln 5}=\frac{-\ln 5}{\tfrac{1}{3}\ln 5}=-3.
Portanto
\left|\log_{\alpha}(0{,}2)\right|=\left|{-3}\right|=3.
A afirmação dizia que esse valor é 1; na verdade é 3. Logo a Afirmação III é falsa.
Comentário pedagógico: o uso do algoritmo de Euclides para polinômios é análogo ao caso de inteiros: divide-se, toma-se resto, repete-se até resto zero; o último divisor não nulo é o gcd. Aqui obtemos x^{3}-5 como gcd, o que imediatamente dá as raízes comuns.

Passo 5

Conclusão final combinando os resultados:
  • Afirmação I: verdadeira.
  • Afirmação II: falsa (calculamos P(19)=1/20 e a soma dos algarismos de \dfrac{P(19)}{20^{4}}=\dfrac{1}{20^{5}} é 11, não 75).
  • Afirmação III: falsa (raízes comuns são as raízes de x^{3}-5; com \alpha=\sqrt[3]{5} temos |\log_{\alpha}(0{,}2)|=3, não 1).
Portanto apenas a Afirmação I é verdadeira.

Resposta

A) apenas I.

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