- Sobre o estudo dos polinômios temos as seguintes afirmações:
I) Seja
um polinômio de grau 2022 tal que
para
. O valor de
é igual a
.
II. Defina o polinômio
. Se
é a soma dos algarismos do resultado de
é igual a 75 .
III. Considere que os dois polinômios
e
tem 3 raízes comuns
(real),
(complexo não real) e
(complexo não real). O valor de
é igual a 1 .
Podemos afirmar que é(são) verdadeira(s):
A) apenas I.
B) apenas II.
C) apenas III.
D) apenas I e II.
E) apenas I e III.)
I) Seja
II. Defina o polinômio
III. Considere que os dois polinômios
Podemos afirmar que é(são) verdadeira(s):
A) apenas I.
B) apenas II.
C) apenas III.
D) apenas I e II.
E) apenas I e III.)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. O enunciado apresenta três afirmações sobre polinômios e pergunta qual das opções (A–E) está correta.
Informações relevantes dadas:
- Afirmação I: Existe um polinômio
de grau tal que Pergunta-se se o valor é igual a . - Afirmação II: É apresentado um polinômio
de grau (com coeficientes explícitos). Em seguida diz: se é a soma dos algarismos do resultado de , então . Note que essa afirmação usa (o mesmo da afirmação I). - Afirmação III: Dois polinômios
e têm três raízes comuns: (real), (complexa não real) e (complexa não real). Afirma-se que (a vírgula indica decimal, ou seja ).
O que é pedido: determinar quais das afirmações I, II, III são verdadeiras e escolher a alternativa correta entre:
A) apenas I.
B) apenas II.
C) apenas III.
D) apenas I e II.
E) apenas I e III.
A) apenas I.
B) apenas II.
C) apenas III.
D) apenas I e II.
E) apenas I e III.
Passo 2
Resolução e verificação da Afirmação I (detalhado e didático).
Dados:
é polinômio de grau
com
Estratégia didática (truque clássico): construir um polinômio que zere nesses pontos. Defina o polinômio
Explicação do porquê: para cada
temos
. Logo
para
. Assim
tem as
raízes
.
Agora observe o grau de
. Como
tem grau
, o produto
tem grau
. Subtraindo
(constante) não reduz o grau, então
é um polinômio de grau
cujo conjunto de raízes contém
(são
raízes distintas). Logo
é proporcional ao polinômio
. Assim existe uma constante
tal que
Vamos achar
. Para isso avalie
em
:
Por outro lado,
Portanto
Agora queremos
. Use
. Por outro lado,
Logo
, isto é
Conclusão: a Afirmação I é verdadeira.
Comentário pedagógico breve: o truque de multiplicar por
para transformar os valores
em zeros é um método padrão: constrói-se um polinômio que tem raízes nos pontos dados e determina-se o coeficiente pelo valor em um ponto conveniente (aqui
).
Passo 3
Verificação da Afirmação II (passo a passo e didático).
A afirmação II diz (com palavras): dado um polinômio
(apresentado), se
é a soma dos algarismos do resultado de
então
.
Primeiro detalhe importante: o
referido é o mesmo da Afirmação I. Como na Afirmação I está explícito que
para todo
, isso inclui
. Portanto,
Então calcule
Vamos escrever o número em decimal:
. (Mostrando como obter:
e
então
.)
Agora a soma dos algarismos desse resultado: os algarismos não nulos a partir da primeira casa significativa formam a sequência
. A soma desses algarismos é
(Os zeros à esquerda e entre a vírgula e os dígitos não contribuem para a soma.)
Portanto a afirmação "o valor de
é igual a
" é falsa: o valor correto de
é
.
Observação: o polinômio
apresentado na afirmação II não é usado para determinar
;
vem diretamente da condição dada na Afirmação I. Assim a Afirmação II é falsa.
Passo 4
Verificação da Afirmação III (passo a passo com algoritmo de Euclides para polinômios).
Dados:
Afirma-se que eles têm três raízes comuns
(real),
,
(complexas) e que
, i.e.
.
Método: determinar o máximo divisor comum
por divisão polinomial (algoritmo de Euclides). Se o
for de grau
, suas raízes serão exatamente as três raízes comuns.
Primeira divisão: dividir
por
.
- Dividendo
e divisor . O quociente inicial é , pois . - Multiplicando
obtemos - Subtraindo de
:
Denotemos esse resto por
:
Segunda etapa: dividir
por
. Como
, o quociente é
. Então
Subtraindo:
Portanto o resto é
Agora aplicamos o algoritmo novamente:
. Vamos verificar se
divide
. Dividindo
por
(ou simplesmente verificando substituição nas raízes) mostra que
é exatamente o
(os cálculos acima já mostram que o resto reduziu a
e que não há resto posterior porque
menor que
; uma verificação completa de que
divide
é compatível com o fato de termos encontrado esse polinômio no processo).
Assim os três fatores comuns são as raízes da equação
As raízes são:
- a raiz real positiva
, - duas raízes complexas não reais (as outras duas raízes cúbicas).
Logo a hipótese sobre as três raízes comuns coincide com as raízes de
.
Agora calcule
. Observação:
. Usando a definição de logaritmo:
Como
, temos
. Então
Portanto
A afirmação dizia que esse valor é
; na verdade é
. Logo a Afirmação III é falsa.
Comentário pedagógico: o uso do algoritmo de Euclides para polinômios é análogo ao caso de inteiros: divide-se, toma-se resto, repete-se até resto zero; o último divisor não nulo é o gcd. Aqui obtemos
como gcd, o que imediatamente dá as raízes comuns.
Passo 5
Conclusão final combinando os resultados:
- Afirmação I: verdadeira.
- Afirmação II: falsa (calculamos
e a soma dos algarismos de é , não ). - Afirmação III: falsa (raízes comuns são as raízes de
; com temos , não ).
Portanto apenas a Afirmação I é verdadeira.
Resposta
A) apenas I.