- Sabendo que
pode ser escrito da forma
, com
e
números racionais, então podemos afirmar que o valor de
é igual a:
A)
B)
C)
D)
E)
A)
B)
C)
D)
E)
Passo 1
O enunciado diz que
pode ser escrito como
onde
são números racionais. Pede-se o valor de
Informações relevantes: a expansão deve expressar
como combinação linear de
para
. O objetivo é encontrar os coeficientes
(ou ao menos combinar os que aparecem na expressão pedida) e calcular a soma indicada.
Passo 2
Vou escolher um método eficiente e direto: usar a identidade de Euler
e a consequência
Essa forma é ótima porque, ao elevar
a potências inteiras, transforma o problema numa expansão binomial de expoentes complexos, e depois basta agrupar
para obter
. A técnica é padrão e evita repetidos usos de fórmulas de redução de potência.
Passo 3
Escrevo
em termos exponenciais:
Agora aplico o teorema do binómio:
Passo 4
Faço a expansão explícita usando os coeficientes binomiais
:
Multiplicando por
,
Passo 5
Agrupo termos conjugados para escrever em cossenos: para inteiros
vale
. Aplicando:
Simplificando os fatores
:
Passo 6
Da expressão acima, leio os coeficientes
:
e
Passo 7
Calculo a soma pedida:
Resposta
D)