1. Sabendo que \cos ^{5}(\theta) pode ser escrito da forma \sum_{k=0}^{5} a_{k} \cos (k \theta), com a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} e a_{5} números racionais, então podemos afirmar que o valor de \left(a_{5}-a_{3}+a_{1}\right)+\left(a_{4}-a_{2}+a_{0}\right) é igual a:
    A) 1 / 8
    B) 1 / 4
    C) 3 / 4
    D) 3 / 8
    E) 1 / 16

Passo 1

O enunciado diz que \cos^{5}(\theta) pode ser escrito como
\sum_{k=0}^{5} a_{k}\cos(k\theta),
onde a_{0},a_{1},\dots,a_{5} são números racionais. Pede-se o valor de
\left(a_{5}-a_{3}+a_{1}\right)+\left(a_{4}-a_{2}+a_{0}\right).
Informações relevantes: a expansão deve expressar \cos^{5}(\theta) como combinação linear de \cos(k\theta) para k=0,1,2,3,4,5. O objetivo é encontrar os coeficientes a_k (ou ao menos combinar os que aparecem na expressão pedida) e calcular a soma indicada.

Passo 2

Vou escolher um método eficiente e direto: usar a identidade de Euler
e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta
e a consequência
\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}.
Essa forma é ótima porque, ao elevar \cos\theta a potências inteiras, transforma o problema numa expansão binomial de expoentes complexos, e depois basta agrupar \!e^{im\theta}+e^{-im\theta}\! para obter \cos(m\theta). A técnica é padrão e evita repetidos usos de fórmulas de redução de potência.

Passo 3

Escrevo \cos^{5}\theta em termos exponenciais:
\cos^{5}\theta=\left(\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}\right)^{5}=\frac{1}{2^{5}}\,(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^{5}=\frac{1}{32}(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^{5}.
Agora aplico o teorema do binómio:
(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^{5}=\sum_{j=0}^{5}\binom{5}{j} e^{i\theta j} e^{-i\theta(5-j)}=\sum_{j=0}^{5}\binom{5}{j} e^{i\theta(2j-5)}.

Passo 4

Faço a expansão explícita usando os coeficientes binomiais \binom{5}{0}=1,\binom{5}{1}=5,\binom{5}{2}=10,\binom{5}{3}=10,\binom{5}{4}=5,\binom{5}{5}=1:
(e^{i\theta}+e^{-i\theta})^{5}=e^{5i\theta}+5e^{3i\theta}+10e^{i\theta}+10e^{-i\theta}+5e^{-3i\theta}+e^{-5i\theta}.
Multiplicando por 1/32,
\cos^{5}\theta=\frac{1}{32}\bigl(e^{5i\theta}+5e^{3i\theta}+10e^{i\theta}+10e^{-i\theta}+5e^{-3i\theta}+e^{-5i\theta}\bigr).

Passo 5

Agrupo termos conjugados para escrever em cossenos: para inteiros m vale e^{im\theta}+e^{-im\theta}=2\cos(m\theta). Aplicando:
\begin{aligned} \cos^{5}\theta &=\frac{1}{32}\bigl((e^{5i\theta}+e^{-5i\theta})+5(e^{3i\theta}+e^{-3i\theta})+10(e^{i\theta}+e^{-i\theta})\bigr)\\[4pt] &=\frac{1}{32}\bigl(2\cos(5\theta)+5\cdot 2\cos(3\theta)+10\cdot 2\cos(\theta)\bigr). \end{aligned}
Simplificando os fatores 2:
\cos^{5}\theta=\frac{1}{16}\cos(5\theta)+\frac{5}{16}\cos(3\theta)+\frac{5}{8}\cos(\theta).]

Passo 6

Da expressão acima, leio os coeficientes a_k:
a_{5}=\frac{1}{16},\qquad a_{3}=\frac{5}{16},\qquad a_{1}=\frac{5}{8},
e
a_{4}=0,\qquad a_{2}=0,\qquad a_{0}=0.

Passo 7

Calculo a soma pedida:
\begin{aligned} \left(a_{5}-a_{3}+a_{1}\right)+\left(a_{4}-a_{2}+a_{0}\right) &= \left(\frac{1}{16}-\frac{5}{16}+\frac{5}{8}\right) + (0-0+0)\\[4pt] &= \left(-\frac{4}{16}+\frac{10}{16}\right)\\[4pt] &= \frac{6}{16}=\frac{3}{8}. \end{aligned}]

Resposta

D) \dfrac{3}{8}

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