(Olimpíada Nacional da Albânia de 2015 - modificada) Seja a circunferência de equação (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} tangente às duas retas concorrentes: 7 x-y-5=0 e x+y+ 13=0 e que é tangente a uma dessas retas no ponto M=(1,2). Considerando que r<8, então o valor de \left(a+b+r^{2}\right) é igual a:
a) 44
b) 45
c) 46
d) 47
e)48

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo nitidamente):
  • A circunferência tem equação (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}.
  • Ela é tangente às duas retas concorrentes
    • L_{1}: 7x-y-5=0,
    • L_{2}: x+y+13=0.
  • A circunferência é tangente a uma dessas retas no ponto M=(1,2).
  • Sabe-se que r<8.
    O que o problema pede: determinar o valor de a+b+r^{2} (há cinco alternativas listadas).

Passo 2

Primeiro verifiquemos a qual das retas o ponto M=(1,2) pertence — isso nos diz qual reta é a que toca o círculo em M.
  • Substituindo em L_{1}: 7\cdot1-2-5 = 7-2-5 = 0. Logo M está em L_{1}.
  • Substituindo em L_{2}: 1+2+13=16\neq0. Logo M não está em L_{2}.
    Conclusão: a tangência em M ocorre com a reta L_{1}.
Explicação útil (porque isto é crucial na prova): quando um círculo é tangente a uma reta em um ponto M, o raio que vai do centro O=(a,b) até M é perpendicular à reta nesse ponto. Isso significa que o vetor (a-1,b-2) (do ponto M ao centro) é paralelo ao vetor normal da reta L_{1}.

Passo 3

Determine o vetor normal de L_{1} e use a condição de perpendicularidade.
  • A equação 7x-y-5=0 tem vetor normal (7,-1) (porque os coeficientes de x e y são os componentes do normal).
  • Então existem um escalar t\in\mathbb{R} tal que (a-1,b-2)=t(7,-1).
Isto nos dá em coordenadas (separamos as componentes):
a = 1 + 7t,\qquad b = 2 - t.
Agora calcule o raio r em função de t. Como r é a distância de O a M,
r^{2}=(a-1)^{2}+(b-2)^{2}=t^{2}\bigl(7^{2}+(-1)^{2}\bigr)=50t^{2}.
Portanto
r=5\sqrt{2}\,|t|.
Observação curta para a prova: isso também garante que a distância do centro à reta L_{1} seja r (fazendo as contas vê-se que é coerente).

Passo 4

Agora use a tangência do círculo com a outra reta L_{2}: x+y+13=0. A condição de tangência equivale a dizer que a distância do centro (a,b) à reta L_{2} é exatamente r.
Fórmula (lembrete e mini-aula): a distância de um ponto (x_{0},y_{0}) à reta Ax+By+C=0 é
\frac{\left|Ax_{0}+By_{0}+C\right|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}.
Aqui, para L_{2} temos A=1, B=1, C=13, então a distância de (a,b) a L_{2} é
\frac{\left|a+b+13\right|}{\sqrt{2}}.
Impondo que essa distância vale r, obtemos
\frac{\left|a+b+13\right|}{\sqrt{2}}=r.
Substituindo a e b em função de t e também r em função de t:
  • a+b+13 = (1+7t)+(2-t)+13 = 16+6t.
  • r = 5\sqrt{2}\,|t|.
Logo
\frac{\left|16+6t\right|}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2}\,|t|.
Multiplicando ambos os lados por \sqrt{2} resulta
\left|16+6t\right| = 10\,|t|.

Passo 5

Resolva a equação \left|16+6t\right| = 10\,|t|. Trabalhe por casos (método padrão para equações com valor absoluto):
Caso A: t\ge0. Então |t|=t e 16+6t>0, portanto 16+6t = 10t. Daqui 16 = 4t, então t=4.
  • Verificação com a condição r<8: se t=4 então r=5\sqrt{2}\cdot 4 = 20\sqrt{2}, que é maior que 8. Logo esse t é rejeitado pois não satisfaz r<8.
Caso B: t\le0. Então |t|=-t. Consideramos subcasos sobre o sinal de 16+6t.
  • Subcaso B1: se 16+6t\ge0 (isto é, t\ge -\tfrac{8}{3}), a equação vira 16+6t = -10t. Assim 16 = -16t e t=-1.
    • Verificação do domínio: t=-1 satisfaz t\le0 e t\ge -\tfrac{8}{3}, logo é admissível.
    • Calcule r: r=5\sqrt{2}\,|t| = 5\sqrt{2}\cdot 1 = 5\sqrt{2}. Numérico aproximado: 5\sqrt{2}\approx7{,}07, que satisfaz r<8. Portanto t=-1 é solução válida.
  • Subcaso B2: se 16+6t<0 (isto é, t< -\tfrac{8}{3}), a equação vira -(16+6t) = -10t que simplifica para t=4, impossível neste intervalo. Portanto sem soluções aqui.
Conclusão: o único t aceitável é t=-1.

Passo 6

Com t=-1 voltamos às expressões de a, b e r^{2}:
a = 1+7t = 1+7(-1) = -6,
b = 2 - t = 2 - (-1) = 3,
r^{2} = 50t^{2} = 50\cdot(-1)^{2} = 50.
Dessa forma temos os valores individuais de a, b e r^{2} necessários para obter a soma pedida.

Resposta

47

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