(Olimpíada Nacional da Albânia de 2015 - modificada) Seja a circunferência de equação
tangente às duas retas concorrentes:
e que é tangente a uma dessas retas no ponto
. Considerando que
, então o valor de
é igual a:
a) 44
b) 45
c) 46
d) 47
e)48
a) 44
b) 45
c) 46
d) 47
e)48
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou listar tudo nitidamente):
- A circunferência tem equação
. - Ela é tangente às duas retas concorrentes
-
, -
.
-
- A circunferência é tangente a uma dessas retas no ponto
. - Sabe-se que
.
O que o problema pede: determinar o valor de(há cinco alternativas listadas).
Passo 2
Primeiro verifiquemos a qual das retas o ponto
pertence — isso nos diz qual reta é a que toca o círculo em
.
- Substituindo em
: . Logo está em . - Substituindo em
: . Logo não está em .
Conclusão: a tangência emocorre com a reta .
Explicação útil (porque isto é crucial na prova): quando um círculo é tangente a uma reta em um ponto
, o raio que vai do centro
até
é perpendicular à reta nesse ponto. Isso significa que o vetor
(do ponto
ao centro) é paralelo ao vetor normal da reta
.
Passo 3
Determine o vetor normal de
e use a condição de perpendicularidade.
- A equação
tem vetor normal (porque os coeficientes de e são os componentes do normal). - Então existem um escalar
tal que
Isto nos dá em coordenadas (separamos as componentes):
Agora calcule o raio
em função de
. Como
é a distância de
a
,
Portanto
Observação curta para a prova: isso também garante que a distância do centro à reta
seja
(fazendo as contas vê-se que é coerente).
Passo 4
Agora use a tangência do círculo com a outra reta
. A condição de tangência equivale a dizer que a distância do centro
à reta
é exatamente
.
Fórmula (lembrete e mini-aula): a distância de um ponto
à reta
é
Aqui, para
temos
,
,
, então a distância de
a
é
Impondo que essa distância vale
, obtemos
Substituindo
e
em função de
e também
em função de
:
-
. -
.
Logo
Multiplicando ambos os lados por
resulta
Passo 5
Resolva a equação
. Trabalhe por casos (método padrão para equações com valor absoluto):
Caso A:
. Então
e
, portanto
. Daqui
, então
.
- Verificação com a condição
: se então , que é maior que . Logo esse é rejeitado pois não satisfaz .
Caso B:
. Então
. Consideramos subcasos sobre o sinal de
.
-
Subcaso B1: se
(isto é, ), a equação vira . Assim e . - Verificação do domínio:
satisfaz e , logo é admissível. - Calcule
: . Numérico aproximado: , que satisfaz . Portanto é solução válida.
- Verificação do domínio:
-
Subcaso B2: se
(isto é, ), a equação vira que simplifica para , impossível neste intervalo. Portanto sem soluções aqui.
Conclusão: o único
aceitável é
.
Passo 6
Com
voltamos às expressões de
,
e
:
Dessa forma temos os valores individuais de
,
e
necessários para obter a soma pedida.
Resposta
47