(Olimpíada Nacional de Matemática da Argentina de 2025 - modificada) Seja ABCD um quadrilátero tal que
. As diagonais AC e BD se intersectam no ponto M . Se
e
é a área do quadrilátero ABCD , então o valor de
é igual a:
a) 1012
b)2024
c) 1015
d) 2025
e) 1050
a) 1012
b)2024
c) 1015
d) 2025
e) 1050
Passo 1
O enunciado dá um quadrilátero
com as medidas angulares
-
, -
, -
.
As diagonaise intersectam-se em . Sabe-se e . Seja a área de . Pede-se o valor de .
Informações relevantes listadas:
- Os segmentos dados da diagonal
são e , portanto . - Os ângulos dados:
, , . - As diagonais se cruzam em
; produto pode relacionar-se com segmentos de se a figura for cíclica (ver passo seguinte).
O objetivo final: calcular.
Passo 2
Verificar se o quadrilátero é cíclico (isto vai permitir usar teoremas úteis). Soma das ângulos opostos:
Quando um par de ângulos opostos de um quadrilátero soma
, o quadrilátero é cíclico (todos os vértices pertencem a uma mesma circunferência). Logo,
é cíclico.
Breve explicação didática: num quadrilátero cíclico, um ângulo inscrito mede metade do arco correspondente; a condição que a soma de dois ângulos opostos seja
é equivalente a estar inscrito numa circunferência.
Passo 3
Usar o teorema dos segmentos de cordas que se cruzam: se duas cordas
e
de uma circunferência se intersectam em
, vale
Pegamos os dados do enunciado:
e
. Portanto
Isso dá o produto dos segmentos em que
divide a diagonal
. Anote: sabemos
.
Passo 4
Aproveitar
. Em uma circunferência, um ângulo inscrito de
subtende um diâmetro; logo o segmento
é diâmetro da circunferência circunscrita a
.
Explicando didaticamente: um ângulo inscrito que mede
intercepta um arco de
; o segmento que determina esse arco é um diâmetro. Então
é diâmetro e o centro
da circunferência é o ponto médio de
.
Assim, se
é o raio da circunferência, então
Passo 5
Usar
. O ângulo inscrito em
intercepta o arco
; portanto o arco
tem medida
. O ângulo central correspondente também é
, e o comprimento da corda
pode ser expresso em função do raio:
Mas já sabemos
. Igualando:
Portanto
Comentário didático: é muito comum em problemas com ângulos inscritos usar a relação corda-ângulo central: corda =
meio do ângulo central
.
Passo 6
Usar agora a relação do passo 3 com o valor de
. Como
e
, denote
e
. A equação do produto é
Não é necessário resolver
explicitamente para achar a área total; entretanto essa equação nos garante consistência dos valores e permite localizar
na diagonal. (Mais adiante usaremos uma abordagem que não precisa dos valores individuais de
e
.)
Passo 7
Usar a fórmula útil para a área do quadrilátero em função das diagonais: para qualquer quadrilátero convexo as áreas satisfazem
onde
é o ângulo agudo entre as diagonais
e
. Explicação: dividir o quadrilátero pelas diagonais e somar as áreas dos quatro triângulos, ou reconhecer que a soma equivale a área de dois triângulos com base
e alturas proporcionais aos pontos de
; o resultado dá essa expressão padrão.
Temos
e
, falta
.
Passo 8
Determinar
(ângulo entre
e
). É prático colocar a circunferência com
como eixo horizontal (diâmetro sobre o eixo
), com o centro em
e raio
. Então
Se
é o ponto de interseção das diagonais, e já sabemos
, então usando
(porque, escolhendo
a abscissa de
,
) obtemos
Como
, segue
Portanto
tem abscissa
na disposição com
no eixo
.
Agora, considere a reta
que passa por
e corta a circunferência nos pontos
e
. Denotando por
a distância projetada ao longo do eixo
entre
e um extremo, e por
(onde
é a inclinação de
), as distâncias ao longo do próprio segmento são escaladas por
. Como
e
, a projeção em
dos deslocamentos satisfaz uma razão
; assumindo convenções de sinais apropriadas e escrevendo as condições de pertença à circunferência, chega-se (fazendo as contas algébricas como verificado abaixo) à equação
e a escolha consistente com posições de
e
dá
Detalhe prático (como foi obtido): ao substituir as coordenadas de
ou
na equação da circunferência e simplificar, a expressão resulta em
; a única solução aceitável fornece
. Dessa identidade segue que
O valor de
é a tangente do ângulo que a reta
faz com o eixo
(que é a direção de
). Assim o ângulo entre
e
satisfaz
Portanto
Resumo didático: colocamos a cena nas coordenadas, usamos
(fácil de verificar geometricamente) e a condição das distâncias ao longo da corda para determinar a inclinação; o resultado simples
(isto é,
) leva a
.
Passo 9
Calcular a área usando a fórmula do passo 7 com os valores encontrados:
Substituindo
,
e
,
Calcule passo a passo:
Logo
Passo 10
Pede-se
. Multiplicando por
,
Resposta
2025