(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2023 - modificada) Se a e b são números reais positivos tal que a^{\log b}=2 e a^{\log a} \cdot b^{\log b}=5. Então o valor de (a b)^{\log a b} é igual a:
a) 9
b) 12
c) 15
d) 25
e)30

Passo 1

O enunciado dá duas condições sobre a e b, números reais positivos, e pede o valor de (ab)^{\log ab}. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
  • Dados:
    • \displaystyle a^{\log b}=2.
    • \displaystyle a^{\log a}\cdot b^{\log b}=5.
    • Todas as ocorrências de \log usam a mesma base (não precisa saber qual; basta que seja a mesma para todas).
  • Pedido:
    • Calcular \displaystyle (ab)^{\log ab}.

Passo 2

Primeiro, vamos traduzir as potências logarítmicas para algo mais manejável. Como todas as \log têm a mesma base, defino
x=\log a,\qquad y=\log b,
onde a base do log é alguma constante fixa c>0,\;c\neq1. Então podemos escrever
a=c^{x},\qquad b=c^{y}.
Explico rápido por que isso funciona: \log a=x significa que c^{x}=a. Essas mudanças deixam as equações em termos de x,y, que são números reais.

Passo 3

Reescrevo as condições dadas usando a=c^{x} e b=c^{y}.
  • Para \displaystyle a^{\log b} temos
a^{\log b}=(c^{x})^{y}=c^{xy}.
Como foi dado que a^{\log b}=2, obtemos
c^{xy}=2.
  • Para \displaystyle a^{\log a}\cdot b^{\log b} temos
a^{\log a}\cdot b^{\log b}=(c^{x})^{x}\cdot(c^{y})^{y}=c^{x^{2}}\cdot c^{y^{2}}=c^{x^{2}+y^{2}}.
Como foi dado que esse produto vale 5, obtemos
c^{x^{2}+y^{2}}=5.
Agora temos duas equações simples em termos de potências de c:
c^{xy}=2,\qquad c^{x^{2}+y^{2}}=5.

Passo 4

Vamos expressar o que queremos em x,y. Note que
(ab)^{\log ab}=(c^{x+y})^{\,x+y}=c^{(x+y)^{2}}.
Expandindo o quadrado:
(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.
Portanto
c^{(x+y)^{2}}=c^{x^{2}+y^{2}} \cdot c^{2xy}.
Mas já sabemos c^{x^{2}+y^{2}}=5 e c^{xy}=2. Substituindo:
c^{(x+y)^{2}}=5\cdot (c^{xy})^{2}=5\cdot 2^{2}=5\cdot 4.

Passo 5

Calculando o produto obtemos
5\cdot 4=20.
Portanto (ab)^{\log ab}=20.

Resposta

\displaystyle 20

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