(Liga Nacional de Matemática do Ensino Médio da China 2023 - modificada) Se
são números reais positivos tal que
. Então o valor de
é igual a:
a) 9
b) 12
c) 15
d) 25
e)30
a) 9
b) 12
c) 15
d) 25
e)30
Passo 1
O enunciado dá duas condições sobre
e
, números reais positivos, e pede o valor de
. Vou listar claramente o que é dado e o que se pede:
- Dados:
-
. -
. - Todas as ocorrências de
usam a mesma base (não precisa saber qual; basta que seja a mesma para todas).
-
- Pedido:
- Calcular
.
- Calcular
Passo 2
Primeiro, vamos traduzir as potências logarítmicas para algo mais manejável. Como todas as
têm a mesma base, defino
onde a base do log é alguma constante fixa
. Então podemos escrever
Explico rápido por que isso funciona:
significa que
. Essas mudanças deixam as equações em termos de
, que são números reais.
Passo 3
Reescrevo as condições dadas usando
e
.
- Para
temos
Como foi dado que
, obtemos
- Para
temos
Como foi dado que esse produto vale
, obtemos
Agora temos duas equações simples em termos de potências de
:
Passo 4
Vamos expressar o que queremos em
. Note que
Expandindo o quadrado:
Portanto
Mas já sabemos
e
. Substituindo:
Passo 5
Calculando o produto obtemos
Portanto
.