(Competição Regional da Áustria de 2004 para Estudantes Avançados - modificado) Seja N a quantidade de soluções reais que satisfaz a equação
. O valor de
é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e)4
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e)4
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:
- Dada a equação
é pedido o número
de soluções reais dessa equação.
- Informações úteis que já aparecem no enunciado:
- O lado esquerdo é uma raiz quadrada, logo é
. - O lado direito é
.
- O lado esquerdo é uma raiz quadrada, logo é
- Objetivo claro: encontrar todos os
que satisfazem a equação e contar quantos são (esse número é ).
Passo 2
Simplificar a raiz mais interna para ver se há alguma identidade útil.
Calculemos a expressão dentro da raiz interna:
Portanto
Explicação didática:
. Isso é importante porque a raiz sempre dá valor não negativo, por isso aparece o valor absoluto.
Passo 3
Reescrever a equação usando a simplificação encontrada e analisar condições de sinal iniciais.
Substituindo, a equação vira
Observação essencial de domínio: o membro esquerdo é uma raiz, então é
. Logo o membro direito também deve ser
. Assim
Portanto quaisquer soluções reais precisam estar em
. Isso permite simplificar o valor absoluto: para
tem-se
(porque
).
Passo 4
Simplificar a raiz do meio para
.
Para
substituímos
e calculamos
Expandindo
:
Logo
Portanto, para
,
E como
implica
, temos
. Assim, no intervalo considerado a raiz do meio vale
.
Passo 5
Simplificar a raiz exterior usando o resultado anterior.
Substituindo a raiz do meio por
obtemos
Calcule o polinômio dentro:
Portanto
E como estamos com
, tem-se
. Assim, para
o lado esquerdo da equação simplifica-se para
.
Passo 6
Resolver a equação reduzida no intervalo
.
A equação original, restrita ao intervalo
, virou:
Fatorando
dos dois lados:
- Se
, então . Esse candidato satisfaz a equação? Vamos verificar depois (mas já fica como possível solução). - Se
, podemos dividir por e obter
Multiplicando por
:
Mas
não pertence ao intervalo
exigido pelo domínio do problema (lembre: o RHS precisava ser
). Logo
é invalidado pela condição inicial. Assim a única possibilidade viável proveniente dessa equação é
.
Passo 7
Verificação final de que
realmente é solução e que satisfaz todos os domínios das raízes.
Substituindo
na expressão original:
- A raiz interna:
. - A raiz do meio:
. - A raiz exterior:
. - O lado direito:
.
Os dois lados coincidem (ambos
), e todos os radicandos ficaram
. Portanto
é solução válida.
Passo 8
Conclusão sobre o número de soluções reais.
Encontramos exatamente uma solução real (
) e não há outras, pois qualquer solução deve estar em
e a equação reduzida só deu
como solução nesse intervalo.
Resposta
b) 1