(Competição Regional da Áustria de 2004 para Estudantes Avançados - modificado) Seja N a quantidade de soluções reais que satisfaz a equação \sqrt{4-x \sqrt{4-(x-2) \sqrt{1+(x-5)(x-7)}}}=\frac{5 x-6-x^{2}}{2}. O valor de N é igual a:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e)4

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dada a equação
\sqrt{4-x \sqrt{4-(x-2) \sqrt{1+(x-5)(x-7)}}}=\frac{5 x-6-x^{2}}{2},
é pedido o número N de soluções reais dessa equação.
  • Informações úteis que já aparecem no enunciado:
    • O lado esquerdo é uma raiz quadrada, logo é \ge 0.
    • O lado direito é \dfrac{5x-6-x^{2}}{2}=\dfrac{-(x-2)(x-3)}{2}.
  • Objetivo claro: encontrar todos os x\in\mathbb{R} que satisfazem a equação e contar quantos são (esse número é N).

Passo 2

Simplificar a raiz mais interna para ver se há alguma identidade útil.
Calculemos a expressão dentro da raiz interna:
1+(x-5)(x-7)=1+\bigl(x^{2}-12x+35\bigr)=x^{2}-12x+36=(x-6)^{2}.
Portanto
\sqrt{1+(x-5)(x-7)}=\sqrt{(x-6)^{2}}=|x-6|.
Explicação didática: \sqrt{t^{2}}=|t|. Isso é importante porque a raiz sempre dá valor não negativo, por isso aparece o valor absoluto.

Passo 3

Reescrever a equação usando a simplificação encontrada e analisar condições de sinal iniciais.
Substituindo, a equação vira
\sqrt{4-x\sqrt{4-(x-2)\,|x-6|}}=\frac{-(x-2)(x-3)}{2}.
Observação essencial de domínio: o membro esquerdo é uma raiz, então é \ge 0. Logo o membro direito também deve ser \ge 0. Assim
\frac{-(x-2)(x-3)}{2}\ge 0 \quad\Longrightarrow\quad (x-2)(x-3)\le 0 \quad\Longrightarrow\quad x\in[2,3].
Portanto quaisquer soluções reais precisam estar em [2,3]. Isso permite simplificar o valor absoluto: para x\in[2,3] tem-se |x-6|=6-x (porque x<6).

Passo 4

Simplificar a raiz do meio para x\in[2,3].
Para x\in[2,3] substituímos |x-6|=6-x e calculamos
4-(x-2)\,|x-6|=4-(x-2)(6-x).
Expandindo (x-2)(6-x):
(x-2)(6-x)=6x-x^{2}-12+2x=-x^{2}+8x-12.
Logo
4-(x-2)(6-x)=4-(-x^{2}+8x-12)=x^{2}-8x+16=(x-4)^{2}.
Portanto, para x\in[2,3],
\sqrt{4-(x-2)\,|x-6|}=\sqrt{(x-4)^{2}}=|x-4|.
E como x\in[2,3] implica x<4, temos |x-4|=4-x. Assim, no intervalo considerado a raiz do meio vale 4-x.

Passo 5

Simplificar a raiz exterior usando o resultado anterior.
Substituindo a raiz do meio por 4-x obtemos
\sqrt{4-x\sqrt{4-(x-2)\,|x-6|}}=\sqrt{4-x(4-x)}.
Calcule o polinômio dentro:
4-x(4-x)=4-4x+x^{2}=x^{2}-4x+4=(x-2)^{2}.
Portanto
\sqrt{4-x(4-x)}=\sqrt{(x-2)^{2}}=|x-2|.
E como estamos com x\in[2,3], tem-se |x-2|=x-2. Assim, para x\in[2,3] o lado esquerdo da equação simplifica-se para x-2.

Passo 6

Resolver a equação reduzida no intervalo [2,3].
A equação original, restrita ao intervalo [2,3], virou:
x-2=\frac{-(x-2)(x-3)}{2}.
Fatorando (x-2) dos dois lados:
  • Se x-2=0, então x=2. Esse candidato satisfaz a equação? Vamos verificar depois (mas já fica como possível solução).
  • Se x-2\neq0, podemos dividir por x-2 e obter
1=-\frac{x-3}{2}.
Multiplicando por 2:
2=-(x-3)\quad\Longrightarrow\quad x=1.
Mas x=1 não pertence ao intervalo [2,3] exigido pelo domínio do problema (lembre: o RHS precisava ser \ge0). Logo x=1 é invalidado pela condição inicial. Assim a única possibilidade viável proveniente dessa equação é x=2.

Passo 7

Verificação final de que x=2 realmente é solução e que satisfaz todos os domínios das raízes.
Substituindo x=2 na expressão original:
  • A raiz interna: \sqrt{1+(2-5)(2-7)}=\sqrt{1+(-3)(-5)}=\sqrt{1+15}=\sqrt{16}=4.
  • A raiz do meio: \sqrt{4-(2-2)\cdot4}=\sqrt{4-0}=2.
  • A raiz exterior: \sqrt{4-2\cdot2}=\sqrt{0}=0.
  • O lado direito: \dfrac{5\cdot2-6-2^{2}}{2}=\dfrac{10-6-4}{2}=0.
Os dois lados coincidem (ambos 0), e todos os radicandos ficaram \ge0. Portanto x=2 é solução válida.

Passo 8

Conclusão sobre o número de soluções reais.
Encontramos exatamente uma solução real ( x=2) e não há outras, pois qualquer solução deve estar em [2,3] e a equação reduzida só deu x=2 como solução nesse intervalo.

Resposta

b) 1

Exercícios relacionados