Uma placa com orifício de bordas finas e agudas foi calibrada com ar seco, a 70^{\circ} \mathrm{F}, praticamente à pressão atmosférica. Com os resultados, preparou-se um gráfico de onde se pode ler diretamente o volume de ar que escoa por minuto, medido a 32^{\circ} \mathrm{F}, sob pressão atmosférica normal. Usando-se esta calibração para medir a vazão do \mathrm{CO}_{2} gasoso seco, a 70^{\circ} \mathrm{F}, e sob pressão atmosférica normal, o resultado que se obteria seria mais alto ou mais baixo que o real? Qual o fator de correção necessário para tornar o gráfico utilizável?

Passo 1

O enunciado trata de uma placa de orifício calibrada com ar seco a 70^\circ\mathrm F e 1\\ \mathrm{atm}, cuja curva dá diretamente o volume padrão de ar, medido a 32^\circ\mathrm F e 1\\ \mathrm{atm}. Queremos usar essa calibração para medir o fluxo de \mathrm{CO_2} seco a 70^\circ\mathrm F e 1\\ \mathrm{atm}. O conteúdo principal é a equação de orifício (fluxo \propto \Delta p^{1/2}/\rho^{1/2}) e a lei dos gases ideais para densidade ( \rho\propto M/T).

Passo 2

Para qualquer fluido numa placa de orifício, em regime não franado, vale aprox.:
\dot V_{\rm teste}\propto\frac{\sqrt{\Delta p}}{\sqrt{\rho_{\rm teste}}}\,,
onde \dot V_{\rm teste} é o volume por minuto ao mesmo T e P da medição e \rho_{\rm teste} é a densidade nessas condições. Para converter esse \dot V_{\rm teste} em volume padrão ( 32^\circ\mathrm F,1\,\mathrm{atm}) usa-se o fator T_{\rm std}/T_{\rm teste}, mas como a calibração já fornece esse ajuste para o ar, podemos focar apenas na dependência em \rho^{-1/2}.

Passo 3

Na calibração com ar, a curva relaciona \Delta p a
\dot V_{\rm grafico} \;=\;K\;\frac{\sqrt{\Delta p}}{\sqrt{\rho_{\rm ar}}}
com K constante geométrica e \rho_{\rm ar} densidade do ar a 70^\circ\mathrm F. Se fizermos passar \mathrm{CO_2} sob a mesma \Delta p, o orifício gerará
\dot V_{\rm CO_2} \;=\;K\;\frac{\sqrt{\Delta p}}{\sqrt{\rho_{\rm CO_2}}}\,.

Passo 4

Comparando o que o gráfico indica ( \dot V_{\rm grafico}) com o fluxo real de \mathrm{CO_2} ( \dot V_{\rm CO_2}), temos
\frac{\dot V_{\rm grafico}}{\dot V_{\rm CO_2}} =\frac{K\,\displaystyle\frac{\sqrt{\Delta p}}{\sqrt{\rho_{\rm ar}}}} {K\,\displaystyle\frac{\sqrt{\Delta p}}{\sqrt{\rho_{\rm CO_2}}}} =\sqrt{\frac{\rho_{\rm CO_2}}{\rho_{\rm ar}}}\,.
Como \rho_{\rm CO_2}>\rho_{\rm ar} (à mesma T,P, M_{\rm CO_2}\approx44, M_{\rm ar}\approx29), a razão é maior que 1.

Resposta

O valor lido no gráfico será maior que o real, porque o \mathrm{CO_2} tem densidade maior e, para a mesma \Delta p, seu fluxo volumétrico é menor. Para corrigir, multiplica-se a leitura por
\sqrt{\frac{\rho_{\rm ar}}{\rho_{\rm CO_2}}} =\sqrt{\frac{29}{44}}\approx0{,}81.

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