A queda de pressão, num tubo liso de 3 / 2 in de diâmetro interno, com óleo lubrificante SAE 10 a 100^{\circ} \mathrm{F}, é de 10 psi em cada 100 ft .
(a) Qual a velocidade média de escoamento?
(b) Qual é o regime do escoamento?

Passo 1

O enunciado dá uma queda de pressão de 10 psi a cada 100 ft em um tubo liso de diâmetro interno de \frac{3}{2} in e óleo SAE 10 a 100^\circF. O conteúdo é o uso da equação de Darcy–Weisbach associada à lei de Hagen–Poiseuille (para o caso laminar, f=\frac{64}{\mathrm{Re}}). Vamos precisar de:
– conversão do diâmetro para pés,
– densidade do óleo em unidades de massa ( \mathrm{slug/ft^3}),
– viscosidade cinemática aproximada do SAE 10 a 100^\circF (digamos \nu=100 cSt \approx1{,}076\times10^{-3},ft ^2/s),
– fórmula \frac{\Delta p}{L} = f\,\left(\frac{\rho V^2}{2D}\right) e f=\frac{64}{\mathrm{Re}} com \mathrm{Re}=\frac{VD}{\nu}.

Passo 2

Convertemos as grandezas:
D = \frac{3}{2}\text{ in} = 0{,}125\;\text{ft}, \qquad \frac{\Delta p}{L} = \frac{10\;\text{psi}}{100\;\text{ft}} =0{,}1\;\text{psi/ft} =0{,}1\times144\;\frac{\text{lbf}}{\text{ft}^2\cdot\text{ft}} =14{,}4\;\frac{\text{lbf}}{\text{ft}^3}.
Para o óleo: peso específico \gamma\approx56,lbf/ft ^3, logo
\rho = \frac{\gamma}{g} = \frac{56}{32{,}2}\;\frac{\text{lbm}}{\text{ft}^3} =1{,}74\;\frac{\text{slug}}{\text{ft}^3},
e usaremos \nu=100,cSt \approx1{,}076\times10^{-3},ft ^2/s.

Passo 3

No regime laminar, f=64/\mathrm{Re} e \mathrm{Re}=VD/\nu. Substituindo em
\frac{\Delta p}{L} = f\,\frac{\rho V^2}{2D} = \frac{64}{\mathrm{Re}}\;\frac{\rho V^2}{2D} = \frac{32\,\rho\,\nu\,V}{D^2},
isolamos V:
V = \frac{\displaystyle\frac{\Delta p}{L}\;D^2}{32\,\rho\,\nu}.

Passo 4

Agora calculamos numericamente:
\frac{\Delta p}{L}\,D^2 =14{,}4\times(0{,}125)^2 =14{,}4\times0{,}015625 =0{,}225,
32\,\rho\,\nu =32\times1{,}74\times1{,}076\times10^{-3} \approx0{,}0589.
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V = \frac{0{,}225}{0{,}0589} \approx3{,}82\;\text{ft/s} \quad(\approx1{,}16\;\text{m/s}).

Passo 5

Calculamos o número de Reynolds para verificar o regime:
\mathrm{Re} = \frac{V\,D}{\nu} = \frac{3{,}82\times0{,}125}{1{,}076\times10^{-3}} \approx444,
que é bem inferior a 2000. Portanto, o escoamento é laminar.

Resposta

(a) A velocidade média é aproximadamente 3{,}8 ft/s ( \approx1{,}16 m/s).
(b) O escoamento está em regime laminar ( \mathrm{Re}\approx444<2000).

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