| q9 | A função f(x)=(x-10)^4-cos (1.5 x)-1 possui dois zeros: x1^* e x2^*. Determine o valor de |x2^*-x1^*| |

Passo 1

Beleza, o enunciado é o seguinte: a função
f(x) = (x - 10)^4 ;-;cos(1.5,x);-;1
tem dois zeros, digamos e . A tarefa é achar a distância entre eles: .
Conteúdo: método de busca de raízes (Teorema do Valor Intermediário, bisseção/secante). Vamos precisar saber que a função é contínua e que dá pra aproximar os zeros numericamente, depois subtrair para obter a distância.

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Se é contínua e , existe pelo menos uma raiz em .
  2. O método da bisseção se baseia nisso, dividindo o intervalo ao meio até chegar na precisão desejada.
  3. Opcionalmente a gente pode usar o método da secante ou Newton, mas a bisseção já resolve sem muita complicação.

Passo 3

Vamos localizar dois intervalos onde estejam as raízes. Testando valores:
  • Em f(8)=(8-10)^4-cos(12)-1=16 -(cos(12)) -1, f(9)=1 -cos(13.5)-1 = -cos(13.5)approx -0.596<0Como f(10)=0 -cos(15)-1approx -(-0.7597)-1 = -0.2403<0, dá f(11)=1 -cos(16.5)-1 = -cos(16.5)approx 0.699>0
  • Em ,
Logo, há uma raiz em .
Do outro lado:
  • Em ,
  • Em ,
Logo, existe outra raiz em .

Passo 4

Aplicando bisseção (ou secante) em cada intervalo até uma boa precisão ( x1^* approx 8.845, ):
  • Para x2^* approx 10.354, em , chegamos em
  • Para em , deu

Passo 5

Agora é só calcular a distância entre eles:
llVert x2^* - x1^* rrVert ;=; 10.354 ;-; 8.845 ;approx; 1.509

Resposta

.

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