Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com
, usando o método da Iteração Linear. Para tanto, determine antes as equações de iteração linear, assim como uma primeira aproximação da raiz
.
Passo 1
Beleza, o problema é: “Calcular pelo menos uma raiz real da equação
com precisão
, usando o Método da Iteração Linear.”
Matéria: método de ponto fixo (iteração linear).
O que vamos precisar:
Matéria: método de ponto fixo (iteração linear).
O que vamos precisar:
- Transformar
num “x = g(x)”. - Escolher um chute inicial
. - Mostrar que a iteração converge (
). - Iterar até
.
Passo 2
Primeiro, isolamos
.
Então a nossa função de iteração é
Passo 3
Para garantir que isso realmente converge, precisamos ver se
num intervalo que contenha a raiz.
Calculando a derivada,
Calculando a derivada,
Como
, temos
e
.
Logo
Logo
o que garante convergência no método de ponto fixo.
Passo 4
A gente ainda precisa de um chute inicial
.
Note que
Note que
Então há raiz entre 1 e 2. Vamos escolher
.
Passo 5
Agora iteramos
até
.
Fazendo as contas (arredondando a 5 casas para monitorar a diferença):
n = 0:
n = 1:
diferença =
n = 2:
diferença =
n = 3:
diferença =
n = 4:
diferença =
n = 0:
n = 1:
diferença =
n = 2:
diferença =
n = 3:
diferença =
n = 4:
diferença =
Como
, podemos parar aqui.
Resposta
Uma raiz aproximada (com
) é