Calcule pelo menos uma raiz real das equações abaixo, com epsilon <= 10^-3, usando o método da Iteração Linear. Para tanto, determine antes as equações de iteração linear, assim como uma primeira aproximação da raiz x0.
f(x)=e^x+cos x-5=0

Passo 1

Beleza, o problema é: “Calcular pelo menos uma raiz real da equação
f(x)=e^x + cos x - 5 = 0
com precisão , usando o Método da Iteração Linear.”
Matéria: método de ponto fixo (iteração linear).
O que vamos precisar:
  1. Transformar num “x = g(x)”.
  2. Escolher um chute inicial .
  3. Mostrar que a iteração converge ( ).
  4. Iterar até .

Passo 2

Primeiro, isolamos e^x + cos x - 5 = 0 Longrightarrow e^x = 5 - cos x Longrightarrow x = lnl(5 - cos xr) .
g(x) = lnl(5 - cos xr)
Então a nossa função de iteração é

Passo 3

Para garantir que isso realmente converge, precisamos ver se g'(x) = ddxln(5-cos x) = 15-cos xcdot(sin x) = sin x5 - cos x num intervalo que contenha a raiz.
Calculando a derivada,
|g'(x)| <= 14 = 0,25 < 1,
Como , temos e .
Logo
o que garante convergência no método de ponto fixo.

Passo 4

A gente ainda precisa de um chute inicial f(1)=e^1+cos1-5approx2,718+0,540-5=-1,742<0, .
Note que
f(2)=e^2+cos2-5approx7,389-0,416-5=1,973>0
Então há raiz entre 1 e 2. Vamos escolher .

Passo 5

Agora iteramos
xn+1 = g(xn) = lnl(5 - cos xnr)
até .
Fazendo as contas (arredondando a 5 casas para monitorar a diferença):
n = 0:
n = 1:
diferença =
n = 2:
diferença =
n = 3:
diferença =
n = 4:
diferença =
Como , podemos parar aqui.

Resposta

Uma raiz aproximada (com boxedx approx 1,61799 ) é

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