1. Mostre que se p(x) é o único polinômio de grau n ou menor que toma os valores y0, y1, ldots, yn nos n+1 pontos a, a+h, a+2 h, ldots, a+n h, então p(x)=y0+De
Dica: expresse as diferenças divididas na fórmula de Newton em termos de diferenças sucessivas.
17. Mostre que a série de Newton para um polinômio de grau n ou menor tem no máximo n+1 termos.

Passo 1

Então, a questão 16 pede pra mostrar que, dado um polinômio p(a)=y0,;p(a+h)=y1,;dots,;p(a+nh)=yn, de grau p(x)=y0+De que vale
ele se escreve no formato de Newton com diferenças finitas:
A dica diz pra usar a fórmula de Newton com diferenças divididas e mostrar que cada dividida é, na verdade, uma diferença finita sobre potências de .
Também a questão 17 quer que você perceba que, se o grau é , não vai ter termo além de , ou seja, a série tem no máximo termos.

Passo 2

Antes de tudo, lembra como se definem as diferenças finitas pra uma sequência :
,
,
e em geral
é a diferença finita de ordem começando em .

Passo 3

A fórmula de Newton via diferenças divididas, pra nós, é
p(x)=y0 +(x-x0),f[x0,x1] +(x-x0)(x-x1),f[x0,x1,x2] +cdots +(x-x0)cdots(x-xn-1),f[x0,dots,xn],
onde f[xi,dots,xj] =f[xi+1,dots,xj]-f[xi,dots,xj-1]xj-xi e
são as diferenças divididas.

Passo 4

No nosso caso f[a,a+h] =y1-y0(a+h)-a =De. Vamos ver que cada diferença dividida vira uma diferença finita dividida por potências de f[a,a+h,a+2h] =f[a+h,a+2h]-f[a,a+h](a+2h)-a =De:
  1. Para f[a,a+h,dots,a+k h] =De:
  2. Para três pontos :
  3. E por indução você mostra que, em geral,

Passo 5

Basta agora pôr isso na fórmula de Newton:
y0 +(x-a),De
que é exatamente o que a questão 16 pede.

Passo 6

Para a questão 17, observe que se tem grau , então a diferença finita de ordem é zero: . Isso derruba o termo de ordem na série de Newton (a diferença dividida correspondente some). Logo não aparecem termos além do -ésimo, e a soma tem no máximo parcelas.

Resposta

  1. O polinômio que interpola boxed p(x)=y0 +De, , é
  1. Se , então e, consequentemente, a série de Newton termina no -ésimo termo, somando no máximo termos.

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