- Mostre que se
é o único polinômio de grau
ou menor que toma os valores
nos
pontos
, então
Dica: expresse as diferenças divididas na fórmula de Newton em termos de diferenças sucessivas.
17. Mostre que a série de Newton para um polinômio de grau
ou menor tem no máximo
termos.
17. Mostre que a série de Newton para um polinômio de grau
Passo 1
Então, a questão 16 pede pra mostrar que, dado um polinômio
de grau
que vale
ele se escreve no formato de Newton com diferenças finitas:
A dica diz pra usar a fórmula de Newton com diferenças divididas e mostrar que cada dividida é, na verdade, uma diferença finita sobre potências de
.
Também a questão 17 quer que você perceba que, se o grau é , não vai ter termo além de
, ou seja, a série tem no máximo
termos.
Também a questão 17 quer que você perceba que, se o grau é
Passo 2
Antes de tudo, lembra como se definem as diferenças finitas pra uma sequência
:
,
,
e em geral
é a diferença finita de ordem
começando em
.
e em geral
Passo 3
A fórmula de Newton via diferenças divididas, pra nós, é
onde
e
são as diferenças divididas.
Passo 4
No nosso caso
. Vamos ver que cada diferença dividida vira uma diferença finita dividida por potências de
:
- Para
: - Para três pontos
: - E por indução você mostra que, em geral,
Passo 5
Basta agora pôr isso na fórmula de Newton:
que é exatamente o que a questão 16 pede.
Passo 6
Para a questão 17, observe que se
tem grau
, então a diferença finita de ordem
é zero:
. Isso derruba o termo de ordem
na série de Newton (a diferença dividida correspondente some). Logo não aparecem termos além do
-ésimo, e a soma tem no máximo
parcelas.
Resposta
- O polinômio que interpola
, , é
- Se
, então e, consequentemente, a série de Newton termina no -ésimo termo, somando no máximo termos.