Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
\begin{cases}2.86 x_{1}+6.72 x_{2}+3.10 x_{3} & =8.21 \\\ 6.72 x_{1}+17.40 x_{2}+8.18 x_{3} & =23.60 \\\ 3.10 x_{1}+8.18 x_{2}+4.00 x_{3} & =12.00\end{cases}
Supondo que um sistema modelado por um professor de CN resultou no seguinte conjunto de equações:
\begin{cases}4 x_{1}+10 x_{2} & =1.71 \\\ 10 x_{1}+30 x_{2} & =5.30\end{cases}
Resolva o sistema utilizando LU e calcule o resíduo provocado pelos arredondamentos.

Passo 1

O que o enunciado pede e os dados que temos.
  • Pedem: solucionar o sistema do professor usando fatoração LU e calcular o resíduo (erro) causado pelos arredondamentos.
  • Sistema dado (vou trabalhar com este sistema do professor):
\begin{cases} 4 x_{1}+10 x_{2} =1,71\\[4pt] 10 x_{1}+30 x_{2} =5,30 \end{cases}
  • Informações relevantes: a matriz dos coeficientes é
A=\begin{pmatrix}4 & 10\\[4pt]10 & 30\end{pmatrix}, \qquad b=\begin{pmatrix}1,71\\[4pt]5,30\end{pmatrix}.
  • Perguntas explícitas extraídas do enunciado:
    1. Determinar a fatoração A=LU.
    2. Usar LU para resolver Ax=b.
    3. Calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos (vou explicar como escolhi o procedimento de arredondamento e aplicá‑lo passo a passo).]

Passo 2

Breve aula sobre LU (conceito e procedimento) — o que são L e U e por que funcionam.
  • A fatoração LU escreve uma matriz quadrada A como produto de uma matriz triangular inferior L (com uns na diagonal) e uma matriz triangular superior U: \;A=LU.
  • Vantagem prática: para resolver Ax=b fazemos primeiro Ly=b (substituição progressiva), depois Ux=y (substituição regressiva). Isso evita refazer eliminação para cada b.
  • Como obter L e U com eliminação de Gauss: aplicar operações elementares para zerar abaixo da diagonal em A; os multiplicadores usados para zerar ficam em L. Vou aplicar isso diretamente ao nosso 2\times2.

Passo 3

Fatoração A=LU (álgebra explícita).
  • Começamos com
A=\begin{pmatrix}4 & 10\\[4pt]10 & 30\end{pmatrix}.
  • Eliminador para zerar a_{21}: \displaystyle \ell_{21}=\frac{10}{4}=2{,}5.
  • Aplicando a eliminação, a linha 2 nova (R2 ← R2 − \ell_{21}·R1) dá o elemento u_{22}:
u_{22}=30-\ell_{21}\cdot 10=30-2{,}5\cdot 10=30-25=5.
  • Assim obtemos
U=\begin{pmatrix}4 & 10\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}, \qquad L=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2{,}5 & 1\end{pmatrix}.
Verifique que \;LU=\begin{pmatrix}1&0\\\ 2{,}5&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&10\\\ 0&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&10\\\ 10&30\end{pmatrix}=A.]

Passo 4

Resolver Ly=b (substituição progressiva) — cálculo exato sem arredondar adicionalmente.
  • Escrevendo Ly=b:
\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2{,}5 & 1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{1}\\[4pt]y_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}71\\[4pt]5{,}30\end{pmatrix}.
  • Das equações:
    • y_{1}=1{,}71.
    • 2{,}5\,y_{1}+y_{2}=5{,}30 \Rightarrow y_{2}=5{,}30-2{,}5\cdot 1{,}71.
  • Calcule y_{2}:
2{,}5\cdot 1{,}71 = 4{,}275,\qquad y_{2}=5{,}30-4{,}275=1{,}025.
Portanto
y=\begin{pmatrix}1{,}71\\[4pt]1{,}025\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver Ux=y (substituição regressiva) — cálculo exato.
  • Sistema:
\begin{pmatrix}4 & 10\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{1}\\[4pt]x_{2}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1{,}71\\[4pt]1{,}025\end{pmatrix}.
  • Da segunda equação: 5 x_{2}=1{,}025 \Rightarrow x_{2}=\dfrac{1{,}025}{5}=0{,}205.
  • Da primeira: 4 x_{1}+10 x_{2}=1{,}71 \Rightarrow 4 x_{1}=1{,}71-10\cdot 0{,}205=1{,}71-2{,}05=-0{,}34. Assim x_{1}=-0{,}34/4=-0{,}085.
  • Solução exata (com os dados fornecidos):
x=\begin{pmatrix}-0{,}085\\[4pt]0{,}205\end{pmatrix}.]

Passo 6

Como vou modelar o efeito dos arredondamentos (explicação do critério).
  • O enunciado pede o resíduo provocado pelos arredondamentos; para tornar isso concreto, vou simular aritmética em ponto flutuante com arredondamento para 3 algarismos significativos a cada operação importante (multiplicações, subtrações e divisões). Justifico: os dados b aparecem com 3 algarismos significativos ( 1{,}71, 5{,}30), então usar 3 algarismos significativos é uma escolha natural para ilustrar efeito de arredondamento em cálculos manuais/limitados. Vou aplicar o arredondamento passo a passo e mostrar onde isso altera os números.

Passo 7

Repetindo a fatoração A=LU com arredondamento para 3 algarismos significativos durante os cálculos.
  • \ell_{21}=\dfrac{10}{4}=2{,}5 (já tem 2 ou 3 algarismos significativos, mantemos \;2{,}50 se quisermos 3 s.f.).
  • Cálculo de u_{22}=30-2{,}5\cdot 10=30-25=5. Não há perda aqui; com 3 s.f. obtemos
L\approx\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2{,}50 & 1\end{pmatrix},\qquad U\approx\begin{pmatrix}4 & 10\\[4pt]0 & 5\end{pmatrix}.
(Portanto a fatoração não foi afetada pelo arredondamento neste caso.)]

Passo 8

Resolução progressiva Ly=b com arredondamento a 3 algarismos significativos em cada operação.
  • y_{1}=b_{1}=1{,}71 (já com 3 s.f.).
  • Calcular 2{,}50\cdot 1{,}71: produto exato =4{,}275. Arredondando para 3 s.f. obtemos 4{,}28 (porque o próximo dígito é 5, arredonda).
  • Agora y_{2}=5{,}30-4{,}28=1{,}02. Arredondei o produto antes da subtração e guardei o resultado com 3 s.f.; a subtração dá 1{,}02 (3 s.f.).
  • Então, com arredondamento passo a passo,
y^{(ar)}=\begin{pmatrix}1{,}71\\[4pt]1{,}02\end{pmatrix}.]

Passo 9

Resolução regressiva Ux=y^{(ar)} com arredondamento.
  • Segunda equação: 5 x_{2}=1{,}02 \Rightarrow x_{2}=\dfrac{1{,}02}{5}=0{,}204. Com 3 s.f. mantemos 0{,}204.
  • Primeira equação: compute 10\cdot x_{2}=10\cdot 0{,}204=2{,}04 (3 s.f.). Então 4 x_{1}=1{,}71-2{,}04=-0{,}33 (arredondado para 3 s.f.; na prática escrevemos -0{,}330 para 3 s.f.). Dividindo: x_{1}=\dfrac{-0{,}33}{4}=-0{,}0825. Este número tem 3 algarismos significativos (os não nulos são 8,2,5), portanto mantemos -0{,}0825.
  • Solução obtida com o procedimento arredondado:
x^{(ar)}=\begin{pmatrix}-0{,}0825\\[4pt]0{,}204\end{pmatrix}.]

Passo 10

Calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos.
  • Definição: resíduo r=b-Ax^{(ar)}. Vou calcular A x^{(ar)} e então r.
  • Primeiro componente:
4\cdot(-0{,}0825)+10\cdot 0{,}204 = -0{,}33 + 2{,}04 = 1{,}71.
Compare com b_{1}=1{,}71: o primeiro componente do resíduo é r_{1}=1{,}71-1{,}71=0.
  • Segundo componente:
10\cdot(-0{,}0825)+30\cdot 0{,}204 = -0{,}825 + 6{,}12 = 5{,}295.
Compare com b_{2}=5{,}30: o segundo componente do resíduo é
r_{2}=5{,}30-5{,}295=0{,}005.
  • Assim o vetor resíduo (devido aos arredondamentos realizados durante a solução) é
r=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0{,}005\end{pmatrix}.
  • Normas para medir o resíduo: por exemplo, norma infinito \|r\|_{\infty}=0{,}005 e norma Euclidiana \|r\|_{2}=\sqrt{0^{2}+0{,}005^{2}}=0{,}005 (praticamente igual neste caso).]

Passo 11

Interpretação curta e motivação (um empurrãozinho encorajador).
  • Resultado prático: a fatoração LU entregou a solução exata \begin{pmatrix}-0{,}085\\[4pt]0{,}205\end{pmatrix} usando aritmética exata com os dados dados; ao simular aritmética limitada (3 algarismos significativos) obtivemos \begin{pmatrix}-0{,}0825\\[4pt]0{,}204\end{pmatrix} e um resíduo pequeno \begin{pmatrix}0\\[4pt]0{,}005\end{pmatrix}. Isso mostra que arredondamentos introduzem um pequeno erro, aqui perfeitamente tolerável para muitos problemas práticos. Força aí — você já entendeu o processo LU e como avaliar o efeito de erros numéricos!]

Resposta

\displaystyle x=\begin{pmatrix}-0{,}085\\[4pt]0{,}205\end{pmatrix} \n
\displaystyle x^{(ar)}=\begin{pmatrix}-0{,}0825\\[4pt]0{,}204\end{pmatrix} \n
\displaystyle r=b-Ax^{(ar)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0{,}005\end{pmatrix},\qquad \|r\|_{\infty}=0{,}005]

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