Sobre métodos diretos para resolução de sistemas, responda:
Após uma série de cálculos complicados para modelar um determinado problema de previsão futurística, chegou-se ao seguinte sistema de equações:
Calcular o resíduo provocado pelos arredondamentos (vou explicar como escolhi o procedimento de arredondamento e aplicá‑lo passo a passo).]
Passo 2
Breve aula sobre LU (conceito e procedimento) — o que são L e U e por que funcionam.
A fatoração LU escreve uma matriz quadrada A como produto de uma matriz triangular inferior L (com uns na diagonal) e uma matriz triangular superior U: \;A=LU.
Vantagem prática: para resolver Ax=b fazemos primeiro Ly=b (substituição progressiva), depois Ux=y (substituição regressiva). Isso evita refazer eliminação para cada b.
Como obter L e U com eliminação de Gauss: aplicar operações elementares para zerar abaixo da diagonal em A; os multiplicadores usados para zerar ficam em L. Vou aplicar isso diretamente ao nosso 2\times2.
Como vou modelar o efeito dos arredondamentos (explicação do critério).
O enunciado pede o resíduo provocado pelos arredondamentos; para tornar isso concreto, vou simular aritmética em ponto flutuante com arredondamento para 3 algarismos significativos a cada operação importante (multiplicações, subtrações e divisões). Justifico: os dados b aparecem com 3 algarismos significativos (1{,}71, 5{,}30), então usar 3 algarismos significativos é uma escolha natural para ilustrar efeito de arredondamento em cálculos manuais/limitados. Vou aplicar o arredondamento passo a passo e mostrar onde isso altera os números.
Passo 7
Repetindo a fatoração A=LU com arredondamento para 3 algarismos significativos durante os cálculos.
\ell_{21}=\dfrac{10}{4}=2{,}5 (já tem 2 ou 3 algarismos significativos, mantemos \;2{,}50 se quisermos 3 s.f.).
Cálculo de u_{22}=30-2{,}5\cdot 10=30-25=5. Não há perda aqui; com 3 s.f. obtemos
Resolução regressiva Ux=y^{(ar)} com arredondamento.
Segunda equação: 5 x_{2}=1{,}02 \Rightarrow x_{2}=\dfrac{1{,}02}{5}=0{,}204. Com 3 s.f. mantemos 0{,}204.
Primeira equação: compute 10\cdot x_{2}=10\cdot 0{,}204=2{,}04 (3 s.f.). Então 4 x_{1}=1{,}71-2{,}04=-0{,}33 (arredondado para 3 s.f.; na prática escrevemos -0{,}330 para 3 s.f.). Dividindo: x_{1}=\dfrac{-0{,}33}{4}=-0{,}0825. Este número tem 3 algarismos significativos (os não nulos são 8,2,5), portanto mantemos -0{,}0825.
Compare com b_{2}=5{,}30: o segundo componente do resíduo é
r_{2}=5{,}30-5{,}295=0{,}005.
Assim o vetor resíduo (devido aos arredondamentos realizados durante a solução) é
r=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0{,}005\end{pmatrix}.
Normas para medir o resíduo: por exemplo, norma infinito \|r\|_{\infty}=0{,}005 e norma Euclidiana \|r\|_{2}=\sqrt{0^{2}+0{,}005^{2}}=0{,}005 (praticamente igual neste caso).]
Passo 11
Interpretação curta e motivação (um empurrãozinho encorajador).
Resultado prático: a fatoração LU entregou a solução exata \begin{pmatrix}-0{,}085\\[4pt]0{,}205\end{pmatrix} usando aritmética exata com os dados dados; ao simular aritmética limitada (3 algarismos significativos) obtivemos \begin{pmatrix}-0{,}0825\\[4pt]0{,}204\end{pmatrix} e um resíduo pequeno \begin{pmatrix}0\\[4pt]0{,}005\end{pmatrix}. Isso mostra que arredondamentos introduzem um pequeno erro, aqui perfeitamente tolerável para muitos problemas práticos. Força aí — você já entendeu o processo LU e como avaliar o efeito de erros numéricos!]