Para esta questão faça o seguinte:
Considere seu número de matrícula, como por exemplo, 2010700589, realize a soma de todos os dígitos da seguinte forma: 2+0+1+0+7+0+0+5+8+9=32 some agora o resultado, 3+2=5 este valor 5 deve ser considerado para ser utilizado na questão abaixo.
Considere a equação diferencial x^prime=x sent +x^2 sent.
Determine a solução desta equação que satisfaz a condição inicial x(pi2)=*
  • é o valor da soma realizada de sua matrícula.

Passo 1

Então, o enunciado pede para resolver a equação diferencial
x' = xsin t + x^2sin t
com condição inicial
x!l(tfracpi2r)=5
O assunto aqui é “equações diferenciais separáveis”. Para resolver, vamos usar:
  1. Reconhecer que dá para separar e .
  2. Integrar cada lado (integrais de fração parcial de e de ).
  3. Achar a constante pela condição inicial.

Passo 2

Primeiro, fatoramos o lado direito:
x' = (x + x^2),sin t = x(1+x),sin t
Como dxdt = x(1+x),sin t , podemos escrever:
dxx(1+x) = sin t,dt
É o caso clássico de separável, então separamos:

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. No lado de 1 = A(1+x) + Bx = A + (A+B)x usamos frações parciais:
1x(1+x) = 1x - 11+x .
Montamos
integral l(tfrac1x-tfrac11+xr)dx = ln|x| - ln|1+x| + C1
Igualando coeficientes:
  • Constante: integral sin t,dt = -cos t + C2 .
  • Coeficiente de lnx1+x = -cos t + C : .
    Logo
Integrando:
No lado de :
Juntando constantes ( ), temos

Passo 4

Para isolar x1+x = e^-cos t + C = K,e^-cos t, , elevamos exponencial:
x = (1+x),K,e^-cos t ;Longrightarrow; x - x,K,e^-cos t = K,e^-cos t ;Longrightarrow; xl(1 - K,e^-cos tr) = K,e^-cos t
onde x(t) = K,e^-cos t1 - K,e^-cos t . Então
Logo

Passo 5

Usamos a condição xl(tfracpi2r)=Kcdot11-Kcdot1=K1-K=5 . Como K = 5(1-K);Longrightarrow;K=5-5K;Longrightarrow;6K=5;Longrightarrow;K=tfrac56 , , temos
Resolve para :

Resposta

boxed x(t) ;=; 56,e^-cos t1 - 56,e^-cos t ;=; 5,e^-cos t6 - 5,e^-cos t

Exercícios relacionados