Pede-se o posicionamento do ônibus para o tempo de 170 minutos. Numa rodovia, medindo-se a posição de um ônibus que partiu do marco zero da rodovia, obtiveram-se as seguintes marcações:
T(\mathrm{~min}) 60 80 100 120 140 160 180
D(\mathrm{~km}) 76 93 112 138 151 170 192

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar a posição do ônibus (distância medida desde o marco zero da rodovia) no tempo de 170 minutos.
Informações fornecidas (peguei estes pares da tabela do enunciado):
  • (T,D) em minutos e quilômetros:
    • (60,\,76)
    • (80,\,93)
    • (100,\,112)
    • (120,\,138)
    • (140,\,151)
    • (160,\,170)
    • (180,\,192)
Observação útil para o trabalho: o instante pedido 170 minutos fica entre os instantes 160 e 180 minutos da tabela.

Passo 2

Escolha do método: como 170 está exatamente entre dois tempos vizinhos da tabela ( 160 e 180), o método mais direto, básico e seguro para estimar a posição é a interpolação linear entre os pontos (160,\,170) e (180,\,192).
Por que isso? Interpolação linear assume que, entre esses dois instantes próximos, a variação da distância é aproximadamente constante (movimento com velocidade média constante naquele intervalo). É o método mais simples e apropriado quando se tem dados próximos e não há indicação de curvatura forte.

Passo 3

Fórmula da interpolação linear (explicando cada variável): seja t o tempo em minutos e D(t) a distância em quilômetros no tempo t. Tomando dois pontos conhecidos (t_0, d_0) e (t_1, d_1) com t_0<t_1, a reta que passa por esses pontos tem inclinação (velocidade média)
m=\frac{d_1-d_0}{t_1-t_0}.
A estimativa por interpolação linear para D(t) (valor na reta entre os pontos) é dada por
D(t)=d_0 + m\,(t-t_0).
Aqui: m é a taxa de variação de distância por minuto (km/min), d_0 é a distância conhecida no tempo t_0, e (t-t_0) é o tempo decorrido desde t_0.

Passo 4

Aplicando aos pontos escolhidos: tomo t_0=160, d_0=170, t_1=180, d_1=192. Calculo a inclinação m:
m=\frac{d_1-d_0}{t_1-t_0}=\frac{192-170}{180-160}=\frac{22}{20}=\frac{11}{10}=1,1\\ \mathrm{km/min}.
Interpretação: entre 160 e 180 minutos o ônibus, em média, avançou 1,1 quilômetros a cada minuto.

Passo 5

Agora uso a fórmula de interpolação para t=170:
D(170)=d_0 + m\,(170-t_0)=170 + 1,1\cdot(170-160).
Calculo o incremento:
170-160=10,
1,1\cdot 10 = 11,
portanto
D(170)=170+11=181\\ \mathrm{km}.

Passo 6

Interpretação final e nota sobre confiança: a posição estimada é 181 quilômetros desde o marco zero. Como a interpolação foi feita entre pontos próximos e os valores da tabela parecem variar de forma quase linear nesse intervalo, esta estimativa é razoavelmente confiável. Se fosse necessária maior precisão e houvesse indicação de curvatura nos dados, poderia-se usar interpolação quadrática com três pontos vizinhos (por exemplo 140,160,180), mas isso é mais trabalhoso e raramente necessário quando os pontos são próximos.

Resposta

D(170)=181\\ \mathrm{km}

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