Pede-se o posicionamento do ônibus para o tempo de 130 minutos. Numa rodovia, medindo-se a posição de um ônibus que partiu do marco zero da rodovia, obtiveram-se as seguintes marcações:
T(\mathrm{~min}) 60 80 100 120 140 160 180
D(\mathrm{~km}) 76 93 112 138 151 170 192

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei estes números da tabela fornecida):
  • Tempos T (em minutos): 60,\;80,\;100,\;120,\;140,\;160,\;180.
  • Posições D (em km) correspondentes: 76,\;93,\;112,\;138,\;151,\;170,\;192.
    O que se pede: a posição do ônibus no tempo T=130 minutos (ou seja, encontrar D(130)).

Passo 2

Escolha do método: como 130 está entre dois tempos medidos ( 120 e 140 minutos) e os dados parecem variar de forma suave entre medidas consecutivas, a técnica mais simples e apropriada é a interpolação linear entre os pontos mais próximos.
Justificativa prática: interpolação linear usa só os dois pontos mais próximos (rápido para prova) e costuma ser suficiente quando o intervalo é curto (a quente: aqui são 10 minutos de diferença do ponto central).

Passo 3

Princípio da interpolação linear (aula rápida e fórmula): se conhecemos dois pontos (T_1,D_1) e (T_2,D_2) e queremos o valor D para um T entre T_1 e T_2, a interpolação linear usa a reta que liga os pontos. A fórmula é
D = D_1 + \frac{D_2-D_1}{T_2-T_1}\,(T-T_1).
Explicando as variáveis:
  • T_1 e T_2 são os tempos conhecidos (minutos),
  • D_1 e D_2 são as posições conhecidas (km) nos tempos T_1 e T_2,
  • T é o tempo onde quer-se estimar a posição,
  • \dfrac{D_2-D_1}{T_2-T_1} é a inclinação (taxa de variação) da posição em km por minuto.

Passo 4

Identificar os valores a usar (peguei estes números da tabela):
T_1 = 120,\qquad D_1 = 138,
T_2 = 140,\qquad D_2 = 151,
e o tempo pedido é T=130 (está exatamente no meio de 120 e 140).

Passo 5

Calcular a inclinação (velocidade média no intervalo 120 140 minutos):
D_2-D_1 = 151-138 = 13\quad(\text{km}),
T_2-T_1 = 140-120 = 20\quad(\text{min}),
m=\frac{D_2-D_1}{T_2-T_1}=\frac{13}{20}=0,65\quad(\text{km/min}).
Interpretação: entre 120 e 140 minutos o ônibus percorre em média 0,65 km a cada minuto (ou 0,65\cdot60=39 km/h — checagem de razoabilidade).

Passo 6

Calcular o acréscimo de distância desde T_1=120 até T=130:
T-T_1=130-120=10\quad(\text{min}),
\Delta D = m\,(T-T_1)=0,65\cdot10=6,5\quad(\text{km}).

Passo 7

Calcular a posição estimada em T=130:
D(130)=D_1+\Delta D=138+6,5=144,5\quad(\text{km}).
Verificação rápida: está entre 138 e 151 como esperado e a velocidade implícita é razoável, então o resultado faz sentido.

Resposta

D(130)=144,5\\ \text{km}

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