Questão 6. Sejam a \neq 0, b \neq 0 tal que 0<|c d| /|a d|<1. Mostre que o método de Gauss-Seidel aplicado ao sistema A x=b é convergente, onde b \in M_{2 \times 1}\text{(C)} e
A=\left[\begin{array}{ll} a & b \\ c & d \end{array}\right] \in M_{2 \times 2}\text{(C)}

Passo 1

O enunciado (como vindo) dá as seguintes informações e pede que mostremos convergência do método de Gauss–Seidel aplicado a A x = b.
  • Matriz e vetor: A=\begin{pmatrix}a & b\\[4pt] c & d\end{pmatrix}\in M_{2\times2}(\mathbb{C}),\qquad b\in M_{2\times1}(\mathbb{C}).
  • Condições dadas: a\neq 0,\; b\neq 0 e está escrita a desigualdade 0<\frac{|c d|}{|a d|}<1.Observação: dessa desigualdade, como o denominador |a d| é não nulo, segue que d\neq 0 e podemos simplificar \dfrac{|c d|}{|a d|}=\dfrac{|c|}{|a|}, portanto a condição é equivalente a 0<\frac{|c|}{|a|}<1\quad\text{(i.e. }|c|<|a|\text{).}
  • O objetivo: provar que o método de Gauss–Seidel (GS) aplicado a A x=b é convergente (ou seja, a iteração converge para a solução de A x=b para qualquer inicial apropriado).
Observação importante sobre a formulação: a demonstração padrão para matriz 2\times2 costuma usar a quantidade \dfrac{|c b|}{|a d|} (pois o raio espectral da matriz de iteração GS aparece com esse produto). Vou apontar isso quando chegar no cálculo do operador de iteração; se houver uma diferença entre cd e cb no enunciado, explico o impacto. Abaixo vou seguir o caminho que calcula explicitamente a matriz de iteração de Gauss–Seidel e usar a condição natural que garante \rho(T_{GS})<1.]

Passo 2

Breve aula sobre o método de Gauss–Seidel e como obter a matriz de iteração.
  • Ideia do método: dado A x=b, escreve-se A como soma de uma diagonal D, parte estritamente inferior L e parte estritamente superior U: A=D+L+U,onde, para nossa matriz, D=\begin{pmatrix}a&0\\[4pt]0&d\end{pmatrix},\quad L=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]c&0\end{pmatrix},\quad U=\begin{pmatrix}0&b\\[4pt]0&0\end{pmatrix}.(Aqui L contém o elemento abaixo da diagonal, e U o acima.)
  • A iteração de Gauss–Seidel é obtida resolvendo sequencialmente as equações de linha, usando os componentes mais recentes já computados. Escrevendo a fórmula matricial padrão: (D+L)\,x^{(k+1)} = -U\,x^{(k)} + b.Assim, a matriz de iteração (operator que manda x^{(k)} em x^{(k+1)}) é T_{GS} = -(D+L)^{-1} U.
  • Fato-chave (teórico): o método de Gauss–Seidel converge para a solução de A x=b para todo x^{(0)} se, e somente se, o raio espectral da matriz de iteração for menor que 1; isto é, se \rho(T_{GS})<1,onde \rho(M) é o máximo dos módulos dos autovalores de M.
Explicação curta do que é raio espectral: para uma matriz quadrada M, \rho(M)=\max\{|\lambda|:\lambda\\ \text{é autovalor de }M\}é. Se \rho(M)<1, então M^k\to 0 quando k\to\infty, e isso garante que as iterações homogêneas se apagam e o método converge.]

Passo 3

Derivação explícita da iteração de Gauss–Seidel para o caso [2\times2) (modo direto, linha a linha).
  • Escrevendo linhas do sistema A x=b com x=(x_1,x_2)^T e b=(b_1,b_2)^T: \begin{cases} a x_1 + b x_2 = b_1,\\[4pt] c x_1 + d x_2 = b_2. \end{cases}
  • Gauss–Seidel (usar valor mais recente quando disponível): x_1^{(k+1)}=\frac{1}{a}\bigl(b_1 - b\,x_2^{(k)}\bigr).Em seguida, x_2^{(k+1)}=\frac{1}{d}\bigl(b_2 - c\,x_1^{(k+1)}\bigr).
  • Substituindo x_1^{(k+1)}\] na expressão de \(x_2^{(k+1)}: x_2^{(k+1)}=\frac{1}{d}\Bigl(b_2 - c\cdot\frac{1}{a}\bigl(b_1 - b\,x_2^{(k)}\bigr)\Bigr) =\frac{1}{d}\Bigl(b_2 - \frac{c}{a}b_1 + \frac{c b}{a}\,x_2^{(k)}\Bigr).
  • Agora coloque as duas atualizações juntas na forma vetorial x^{(k+1)} = T_{GS}\,x^{(k)} + \text{(termo constante)}.
    Observe que x_1^{(k+1)} depende só de x_2^{(k)} e x_2^{(k+1)} depende só de x_2^{(k)} (além dos termos constantes). Assim a matriz de iteração é T_{GS}=\begin{pmatrix} 0 & -\dfrac{b}{a}\\[8pt] 0 & \dfrac{c b}{a d} \end{pmatrix}.(Se alguém preferir ver o mesmo resultado via inversão de (D+L), obtém-se exatamente esse T_{GS}=-(D+L)^{-1}U.)]

Passo 4

Cálculo dos autovalores e do raio espectral de T_{GS}; interpretação.
  • A matriz T_{GS} é triangular superior, portanto os autovalores são exatamente as entradas da diagonal: \lambda_1 = 0,\qquad \lambda_2 = \frac{c b}{a d}.
  • Logo o raio espectral é \rho(T_{GS})=\max\{\,|\lambda_1|,|\lambda_2|\,\}= \left|\frac{c b}{a d}\right|.
  • Consequência (fato teórico usado): o método de Gauss–Seidel converge para a solução de A x=b (para qualquer inicial x^{(0)}) se, e somente se, \rho(T_{GS})=\left|\frac{c b}{a d}\right|<1.Em palavras: precisamos que |c b|<|a d|.

Passo 5

Relacionando a condição do enunciado com a condição necessária para convergência.
  • A condição natural para convergência do GS, mostrada no passo anterior, é 0<\frac{|c b|}{|a d|}<1\quad\bigl(\text{i.e. }|c b|<|a d|\bigr).
  • No enunciado aparece a desigualdade \,0<\dfrac{|c d|}{|a d|}<1\,, que é algebraicamente equivalente a 0<\dfrac{|c|}{|a|}<1 (portanto implica |c|<|a| e garante d\neq 0). Se o objetivo do enunciado era justamente garantir |c b|<|a d|, então deveria constar \dfrac{|c b|}{|a d|}<1. Seja como for, a demonstração exata que garante convergência usa \dfrac{|c b|}{|a d|}<1, porque \rho(T_{GS})=\left|\frac{c b}{a d}\right|<1implica T_{GS}^k\to 0 e, portanto, as iterações de Gauss–Seidel convergem.
  • Conclusão lógica: se a hipótese do enunciado for interpretada (ou corrigida) como 0<\frac{|c b|}{|a d|}<1,então a convergência do método de Gauss–Seidel é garantida imediatamente pelo cálculo do passo 4.

Passo 6

Resumo final bem prático (como aplicar isso na prova).
  • Procedimento que se pode escrever rapidamente na prova:
    1. Obtenha a matriz de iteração de Gauss–Seidel para A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix}: T_{GS}=\begin{pmatrix}0 & -\dfrac{b}{a}\\[6pt] 0 & \dfrac{c b}{a d}\end{pmatrix}.
    2. Calcule os autovalores (são as entradas da diagonal): \lambda_1=0,\qquad \lambda_2=\dfrac{c b}{a d}.
    3. Assim \rho(T_{GS})=\left|\dfrac{c b}{a d}\right|. Se \left|\dfrac{c b}{a d}\right|<1 então \rho(T_{GS})<1 e o método de Gauss–Seidel converge.
  • Então, com a hipótese (corrigida) \,0<\dfrac{|c b|}{|a d|}<1\,, a convergência está provada.]

Resposta

O método de Gauss–Seidel é convergente porque a matriz de iteração é
T_{GS}=\begin{pmatrix}0 & -\dfrac{b}{a}\\[6pt] 0 & \dfrac{c b}{a d}\end{pmatrix},
seus autovalores são 0 e \dfrac{c b}{a d}, e portanto
\rho(T_{GS})=\left|\dfrac{c b}{a d}\right|<1,
sempre que 0<\dfrac{|c b|}{|a d|}<1, o que garante a convergência do método de Gauss–Seidel.]

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