Pesquisa: Descrever o comportamento, grafico e principais propriedades das funções exponencial, logaritima e trigonometricas (seno, cosseno, tangente).
Passo 1
Então, o enunciado pede pra gente “pesquisar e descrever” o comportamento, o gráfico e as principais propriedades de três tipos de funções:
- exponencial,
- logarítmica,
- trigonométricas (seno, cosseno e tangente).
Conteúdo: funções reais, gráficos, conceito de domínio (valores de x que a função “aceita”), imagem ou contradomínio (valores de y que aparecem), monotonicidade (onde cresce ou decresce), assíntotas (linhas que o gráfico chega perto mas não toca), periodicidade (repetição de padrão) e simetria (par/ímpar).
O que vamos precisar:
• Definição de cada função (fórmulas em LaTeX).
• Saber o que é inversa de função (para ligar exponencial e logarítmica).
• Conceitos básicos de trigonometria (círculo unitário).
• Entender gráficos e suas características principais.
• Definição de cada função (fórmulas em LaTeX).
• Saber o que é inversa de função (para ligar exponencial e logarítmica).
• Conceitos básicos de trigonometria (círculo unitário).
• Entender gráficos e suas características principais.
Passo 2
Função exponencial
- Definição: para uma base fixa
e , a função é
- Domínio e imagem:
- Domínio: todos os reais,
. - Imagem (valores de
): sempre positivo, .
- Domínio: todos os reais,
- Comportamento/monotonicidade:
- Se
, cresce conforme aumenta (função crescente). - Se
, decresce conforme aumenta (função decrescente).
- Se
- Assíntota horizontal: a reta
, pois quando , . - Intercepto: cruza o eixo
em . - Caso especial: base
, a função tem derivada igual a ela mesma (muito usada em cálculo).
Passo 3
Função logarítmica
- Definição: inversa da exponencial. Para base
, ,
- Domínio e imagem:
- Domínio:
(não dá pra logaritmar zero ou negativo). - Imagem: todos os reais,
.
- Domínio:
- Monotonicidade: se
, cresce; se , decresce. - Assíntota vertical: a reta
, pois quando , . - Intercepto: cruza o eixo
em . - Propriedades básicas (identidades):
-
-
- Mudança de base:
.
-
Passo 4
Funções seno e cosseno
- Definição no círculo unitário: se o ponto no círculo faz ângulo
com o eixo , -
= ordenada do ponto, -
= abcissa do ponto.
-
- Domínio e imagem:
- Domínio: todos os reais.
- Imagem:
.
- Periodicidade: ambas repetem o valor a cada
. - Simetria:
-
(função ímpar). -
(função par).
-
- Gráfico:
- Seno começa em
, atinge em , volta a zero em . - Cosseno começa em
, cai a zero em , a em .
- Seno começa em
- Propriedade fundamental:
Passo 5
Função tangente
- Definição: razão entre seno e cosseno:
- Domínio e assíntotas:
- Domínio: todos os reais onde
, ou seja, . - Assíntotas verticais em cada
.
- Domínio: todos os reais onde
- Imagem:
. - Periodicidade: repete a cada
. - Simetria:
(ímpar). - Zeros e formato: zeros em
, cresce de a entre duas assíntotas.
Resposta
Exponencial, logarítmica e trigonométricas têm características bem distintas:
- Exponencial
cresce ou decresce suave, sem oscilar, com assíntota em . - Logarítmica
é a inversa, cresce/devagar, com assíntota . - Seno e cosseno são lisos, limitados em
, repetem a cada , e têm simetria (ímpar/par). - Tangente é periódica com
, não limitada, tem assíntotas verticais e zera nos múltiplos de .