Pesquisa: Descrever o comportamento, grafico e principais propriedades das funções exponencial, logaritima e trigonometricas (seno, cosseno, tangente).

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente “pesquisar e descrever” o comportamento, o gráfico e as principais propriedades de três tipos de funções:
  1. exponencial,
  2. logarítmica,
  3. trigonométricas (seno, cosseno e tangente).
Conteúdo: funções reais, gráficos, conceito de domínio (valores de x que a função “aceita”), imagem ou contradomínio (valores de y que aparecem), monotonicidade (onde cresce ou decresce), assíntotas (linhas que o gráfico chega perto mas não toca), periodicidade (repetição de padrão) e simetria (par/ímpar).
O que vamos precisar:
• Definição de cada função (fórmulas em LaTeX).
• Saber o que é inversa de função (para ligar exponencial e logarítmica).
• Conceitos básicos de trigonometria (círculo unitário).
• Entender gráficos e suas características principais.

Passo 2

Função exponencial
  1. Definição: para uma base fixa f(x)=a^x e , a função é
  1. Domínio e imagem:
    • Domínio: todos os reais, .
    • Imagem (valores de ): sempre positivo, .
  2. Comportamento/monotonicidade:
    • Se , cresce conforme aumenta (função crescente).
    • Se , decresce conforme aumenta (função decrescente).
  3. Assíntota horizontal: a reta , pois quando , .
  4. Intercepto: cruza o eixo em .
  5. Caso especial: base , a função tem derivada igual a ela mesma (muito usada em cálculo).

Passo 3

Função logarítmica
  1. Definição: inversa da exponencial. Para base g(x)=loga x Long<=ftrightarrow a^g(x)=x , ,
  1. Domínio e imagem:
    • Domínio: (não dá pra logaritmar zero ou negativo).
    • Imagem: todos os reais, .
  2. Monotonicidade: se , cresce; se , decresce.
  3. Assíntota vertical: a reta , pois quando , .
  4. Intercepto: cruza o eixo em .
  5. Propriedades básicas (identidades):
    • Mudança de base: .

Passo 4

Funções seno e cosseno
  1. Definição no círculo unitário: se o ponto no círculo faz ângulo sin^2 x + cos^2 x = 1 com o eixo ,
    • = ordenada do ponto,
    • = abcissa do ponto.
  2. Domínio e imagem:
    • Domínio: todos os reais.
    • Imagem: .
  3. Periodicidade: ambas repetem o valor a cada .
  4. Simetria:
    • (função ímpar).
    • (função par).
  5. Gráfico:
    • Seno começa em , atinge em , volta a zero em .
    • Cosseno começa em , cai a zero em , a em .
  6. Propriedade fundamental:

Passo 5

Função tangente
  1. Definição: razão entre seno e cosseno:
tan x = sin xcos x
  1. Domínio e assíntotas:
    • Domínio: todos os reais onde , ou seja, .
    • Assíntotas verticais em cada .
  2. Imagem: .
  3. Periodicidade: repete a cada .
  4. Simetria: (ímpar).
  5. Zeros e formato: zeros em , cresce de a entre duas assíntotas.

Resposta

Exponencial, logarítmica e trigonométricas têm características bem distintas:
  • Exponencial cresce ou decresce suave, sem oscilar, com assíntota em .
  • Logarítmica é a inversa, cresce/devagar, com assíntota .
  • Seno e cosseno são lisos, limitados em , repetem a cada , e têm simetria (ímpar/par).
  • Tangente é periódica com , não limitada, tem assíntotas verticais e zera nos múltiplos de .

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