Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa das seguintes funções:
f(x)=x3

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e a teoria que a gente vai usar.
Enunciado: “Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa de f(x)=x3.”
Conteúdo: funções reais, domínio, imagem (ou contradomínio efetivo) e função inversa.
O que precisamos saber:
  • Domínio: todos os valores de x para os quais a função está bem definida.
  • Imagem: todos os valores de saída y que a função efetivamente atinge.
  • Inversa: para achar f^-1, a gente troca x por y, resolve para y e depois troca o nome de volta para x.

Passo 2

Determinar o domínio de f(x)=x3.
Teoria rápida: o domínio de uma função racional p(x)q(x) são todos os x em que q(x)neq 0.
Aqui q(x)=3, que nunca é zero. Então não temos restrição nenhuma.
Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos números reais.

Passo 3

Determinar a imagem de f(x)=x3.
Teoria rápida: a imagem são os valores que y=f(x) assume quando x varia no domínio.
Como x percorre todo R e dividindo por 3 a gente ainda consegue qualquer número real (por exemplo, pra obter y=7, basta x=21), a imagem também é todo R.

Passo 4

Encontrar a função inversa.
  1. Escrevemos y=x3.
  2. Trocamos x e y: x=y3
  3. Agora resolvemos para y: multiplico os dois lados por 3 e obtenho y=3x
  4. Por fim, trocamos y de novo por f^-1(x), dando f^-1(x)=3x

Resposta

Domínio: R
Imagem: R
Função inversa: f^-1(x)=3x

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