Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa das seguintes funções:
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede e a teoria que a gente vai usar.
Enunciado: “Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa de .”
Conteúdo: funções reais, domínio, imagem (ou contradomínio efetivo) e função inversa.
O que precisamos saber:
Enunciado: “Determine o domínio, a imagem e obtenha a função inversa de
Conteúdo: funções reais, domínio, imagem (ou contradomínio efetivo) e função inversa.
O que precisamos saber:
- Domínio: todos os valores de
para os quais a função está bem definida. - Imagem: todos os valores de saída
que a função efetivamente atinge. - Inversa: para achar
, a gente troca por , resolve para e depois troca o nome de volta para .
Passo 2
Determinar o domínio de
.
Teoria rápida: o domínio de uma função racional são todos os
em que
.
Aqui , que nunca é zero. Então não temos restrição nenhuma.
Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Teoria rápida: o domínio de uma função racional
Aqui
Conclusão: o domínio é todo o conjunto dos números reais.
Passo 3
Determinar a imagem de
.
Teoria rápida: a imagem são os valores que assume quando
varia no domínio.
Como percorre todo
e dividindo por 3 a gente ainda consegue qualquer número real (por exemplo, pra obter
, basta
), a imagem também é todo
.
Teoria rápida: a imagem são os valores que
Como
Passo 4
Encontrar a função inversa.
- Escrevemos
. - Trocamos
e : - Agora resolvemos para
: multiplico os dois lados por 3 e obtenho - Por fim, trocamos
de novo por , dando
Resposta
Domínio:
Imagem:
Função inversa:
Imagem:
Função inversa: