Em cada caso verifique se o critério da diagonal dominante é satisfeito e resolva por Gauss-Seidel com erro<0.001, se possível:
Obs.: Um sistema é diagonal dominante se para todas as linhas da matriz de coeficientes, o módulo do valor da matriz na diagonal é maior que a soma dos módulos de todos os demais valores (não-diagonais) daquela linha.
Verificação do critério de diagonal dominante linha a linha. O critério (na forma fraca) é
\left|a_{ii}\right| \ge \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
Calculo das somas das não-diagonais por linha:
Linha 1: \left|a_{11}\right|=4 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|{-1}|+0+0=1. Logo 4\ge 1 (na verdade 4>1).
Linha 2: \left|a_{22}\right|=4 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|{-1}|+|{-1}|+0=2. Logo 4\ge 2 (na verdade 4>2).
Linha 3: \left|a_{33}\right|=4 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=0+|{-1}|+|{-1}|=2. Logo 4\ge 2 (na verdade 4>2).
Linha 4: \left|a_{44}\right|=4 e \sum_{j\ne4}|a_{4j}|=0+0+|{-1}|=1. Logo 4\ge 1 (na verdade 4>1).
Conclusão: a matriz A é estritamente diagonal dominante em cada linha, portanto satisfaz o critério. Isso é bom: garante convergência do método de Gauss–Seidel.
Passo 3
Explicação didática do método de Gauss–Seidel (passo a passo, sem pular etapas).
Objetivo do método: obter aproximações sucessivas x^{(k)} para a solução x do sistema A x=b.
Como funciona: reescreve cada equação isolando a incógnita da diagonal e usa, a cada iteração, os valores mais recentes já calculados (Gauss–Seidel usa atualizações imediatas, não espera a iteração inteira acabar).
Critério de parada: vou usar o erro relativo/absoluto medido pelo máximo das diferenças entre as componentes em iterações consecutivas (norma infinito do passo):
Observação: nos numeradores aparecem somas com sinais positivos porque, por exemplo, da equação 4x_2 - x_1 - x_3 = 1 isolamos x_2 como x_2=(1 + x_1 + x_3)/4.]
Passo 4
Escolhas e instruções para iteração:
Chute inicial: x^{(0)}=(0,0,0,0)^T (é comum e simples).
Aplicar Gauss–Seidel: em cada iteração k calcular x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)},x_4^{(k)} usando as fórmulas acima e os valores mais recentes (novos valores já calculados na mesma iteração).
Calcular \text{erro}^{(k)}=\max_i |x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}| e verificar se é < 0,001.
Agora executamos as iterações mostrando cálculo numérico detalhado (cada passo mostra as substituições numéricas).