Em cada caso verifique se o critério da diagonal dominante é satisfeito e resolva por Gauss-Seidel com erro<0.001, se possível:
Obs.: Um sistema é diagonal dominante se para todas as linhas da matriz de coeficientes, o módulo do valor da matriz na diagonal é maior que a soma dos módulos de todos os demais valores (não-diagonais) daquela linha.
\left|a_{i i}\right| \geq \sum_{j \neq i}\left|a_{i j}\right|
A=\left[\begin{array}{cccc}4 & -1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 4 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 4\end{array}\right] ; b=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Verificar se o critério de diagonal dominante é satisfeito para a matriz A.
  • Resolver o sistema A x = b por Gauss–Seidel até que o erro seja menor que 0,001.
Dados fornecidos:
A=\begin{pmatrix} 4 & -1 & 0 & 0 \\\\ -1 & 4 & -1 & 0 \\\\ 0 & -1 & 4 & -1 \\\\ 0 & 0 & -1 & 4 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 2

Verificação do critério de diagonal dominante linha a linha. O critério (na forma fraca) é
\left|a_{ii}\right| \ge \sum_{j\ne i} |a_{ij}|.
Calculo das somas das não-diagonais por linha:
  • Linha 1: \left|a_{11}\right|=4 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|{-1}|+0+0=1. Logo 4\ge 1 (na verdade 4>1).
  • Linha 2: \left|a_{22}\right|=4 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|{-1}|+|{-1}|+0=2. Logo 4\ge 2 (na verdade 4>2).
  • Linha 3: \left|a_{33}\right|=4 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=0+|{-1}|+|{-1}|=2. Logo 4\ge 2 (na verdade 4>2).
  • Linha 4: \left|a_{44}\right|=4 e \sum_{j\ne4}|a_{4j}|=0+0+|{-1}|=1. Logo 4\ge 1 (na verdade 4>1).
Conclusão: a matriz A é estritamente diagonal dominante em cada linha, portanto satisfaz o critério. Isso é bom: garante convergência do método de Gauss–Seidel.

Passo 3

Explicação didática do método de Gauss–Seidel (passo a passo, sem pular etapas).
  • Objetivo do método: obter aproximações sucessivas x^{(k)} para a solução x do sistema A x=b.
  • Como funciona: reescreve cada equação isolando a incógnita da diagonal e usa, a cada iteração, os valores mais recentes já calculados (Gauss–Seidel usa atualizações imediatas, não espera a iteração inteira acabar).
  • Critério de parada: vou usar o erro relativo/absoluto medido pelo máximo das diferenças entre as componentes em iterações consecutivas (norma infinito do passo):
\text{erro}^{(k)}=\max_i \left|x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}\right|.
Paro quando \text{erro}^{(k)}<0,001.
Reescrevendo as equações do sistema para a forma iterativa (isolando cada x_i):
\begin{aligned} 4x_1 - x_2 &= 1 \quad\Rightarrow\quad x_1 = \frac{1 + x_2}{4},\\[4pt] - x_1 + 4x_2 - x_3 &= 1 \quad\Rightarrow\quad x_2 = \frac{1 + x_1 + x_3}{4},\\[4pt] - x_2 + 4x_3 - x_4 &= 1 \quad\Rightarrow\quad x_3 = \frac{1 + x_2 + x_4}{4},\\[4pt] - x_3 + 4x_4 &= 1 \quad\Rightarrow\quad x_4 = \frac{1 + x_3}{4}. \end{aligned}
Observação: nos numeradores aparecem somas com sinais positivos porque, por exemplo, da equação 4x_2 - x_1 - x_3 = 1 isolamos x_2 como x_2=(1 + x_1 + x_3)/4.]

Passo 4

Escolhas e instruções para iteração:
  • Chute inicial: x^{(0)}=(0,0,0,0)^T (é comum e simples).
  • Aplicar Gauss–Seidel: em cada iteração k calcular x_1^{(k)},x_2^{(k)},x_3^{(k)},x_4^{(k)} usando as fórmulas acima e os valores mais recentes (novos valores já calculados na mesma iteração).
  • Calcular \text{erro}^{(k)}=\max_i |x_i^{(k)}-x_i^{(k-1)}| e verificar se é < 0,001.
Agora executamos as iterações mostrando cálculo numérico detalhado (cada passo mostra as substituições numéricas).

Passo 5

Iteração k=1 (a partir de x^{(0)}=(0,0,0,0)):
\begin{aligned} x_1^{(1)} &= \frac{1 + x_2^{(0)}}{4} = \frac{1+0}{4} = 0,25,\\[4pt] x_2^{(1)} &= \frac{1 + x_1^{(1)} + x_3^{(0)}}{4} = \frac{1+0,25+0}{4} = 0,3125,\\[4pt] x_3^{(1)} &= \frac{1 + x_2^{(1)} + x_4^{(0)}}{4} = \frac{1+0,3125+0}{4} = 0,328125,\\[4pt] x_4^{(1)} &= \frac{1 + x_3^{(1)}}{4} = \frac{1+0,328125}{4} = 0,33203125. \end{aligned}
Erro da iteração: \text{erro}^{(1)}=\max(|0,25|,|0,3125|,|0,328125|,|0,33203125|)=0,33203125 (ainda bem maior que 0,001).]

Passo 6

Iteração k=2:
\begin{aligned} x_1^{(2)} &= \frac{1 + x_2^{(1)}}{4} = \frac{1+0,3125}{4} = 0,328125,\\[4pt] x_2^{(2)} &= \frac{1 + x_1^{(2)} + x_3^{(1)}}{4} = \frac{1+0,328125+0,328125}{4} = 0,4140625,\\[4pt] x_3^{(2)} &= \frac{1 + x_2^{(2)} + x_4^{(1)}}{4} = \frac{1+0,4140625+0,33203125}{4} = 0,4365234375,\\[4pt] x_4^{(2)} &= \frac{1 + x_3^{(2)}}{4} = \frac{1+0,4365234375}{4} = 0,359130859375. \end{aligned}
Diferenças em relação à iteração anterior:
|x^{(2)}-x^{(1)}|_{\infty}=\max(0,078125;0,1015625;0,1083984375;0,027099609375)=0,1083984375.
Ainda >0,001.]

Passo 7

Iteração k=3:
\begin{aligned} x_1^{(3)} &= \frac{1 + x_2^{(2)}}{4} = \frac{1+0,4140625}{4} = 0,353515625,\\[4pt] x_2^{(3)} &= \frac{1 + x_1^{(3)} + x_3^{(2)}}{4} = \frac{1+0,353515625+0,4365234375}{4} = 0,447509765625,\\[4pt] x_3^{(3)} &= \frac{1 + x_2^{(3)} + x_4^{(2)}}{4} = \frac{1+0,447509765625+0,359130859375}{4} = 0,45166015625,\\[4pt] x_4^{(3)} &= \frac{1 + x_3^{(3)}}{4} = \frac{1+0,45166015625}{4} = 0,3629150390625. \end{aligned}
Erro:
|x^{(3)}-x^{(2)}|_{\infty}=0,033447265625>0,001.]

Passo 8

Iteração k=4:
\begin{aligned} x_1^{(4)} &= \frac{1 + x_2^{(3)}}{4} = \frac{1+0,447509765625}{4} = 0,36187744140625,\\[4pt] x_2^{(4)} &= \frac{1 + x_1^{(4)} + x_3^{(3)}}{4} = \frac{1+0,36187744140625+0,45166015625}{4} = 0,4533843994140625,\\[4pt] x_3^{(4)} &= \frac{1 + x_2^{(4)} + x_4^{(3)}}{4} = \frac{1+0,4533843994140625+0,3629150390625}{4} = 0,454074859619140625,\\[4pt] x_4^{(4)} &= \frac{1 + x_3^{(4)}}{4} = \frac{1+0,454074859619140625}{4} = 0,36351871490478515625. \end{aligned}
Erro:
|x^{(4)}-x^{(3)}|_{\infty}=0,00836181640625>0,001.]

Passo 9

Iteração k=5:
\begin{aligned} x_1^{(5)} &= \frac{1 + x_2^{(4)}}{4} = \frac{1+0,4533843994140625}{4} = 0,363346099853515625,\\[4pt] x_2^{(5)} &= \frac{1 + x_1^{(5)} + x_3^{(4)}}{4} = \frac{1+0,363346099853515625+0,454074859619140625}{4} = 0,4543552398681640625,\\[4pt] x_3^{(5)} &= \frac{1 + x_2^{(5)} + x_4^{(4)}}{4} = \frac{1+0,4543552398681640625+0,36351871490478515625}{4} = 0,4544684886932373046875,\\[4pt] x_4^{(5)} &= \frac{1 + x_3^{(5)}}{4} = \frac{1+0,4544684886932373046875}{4} = 0,363617122173309326171875. \end{aligned}
Erro:
|x^{(5)}-x^{(4)}|_{\infty}=0,001468658447265625>0,001.]

Passo 10

Iteração k=6:
\begin{aligned} x_1^{(6)} &= \frac{1 + x_2^{(5)}}{4} = \frac{1+0,4543552398681640625}{4} = 0,363588809967041015625,\\[4pt] x_2^{(6)} &= \frac{1 + x_1^{(6)} + x_3^{(5)}}{4} = \frac{1+0,363588809967041015625+0,4544684886932373046875}{4} = 0,454514324665069580078125,\\[4pt] x_3^{(6)} &= \frac{1 + x_2^{(6)} + x_4^{(5)}}{4} = \frac{1+0,454514324665069580078125+0,363617122173309326171875}{4} = 0,4545328617095947265625,\\[4pt] x_4^{(6)} &= \frac{1 + x_3^{(6)}}{4} = \frac{1+0,4545328617095947265625}{4} = 0,363633215427398681640625. \end{aligned}
Erro:
|x^{(6)}-x^{(5)}|_{\infty}=\max(0,000242710113525390625;0,000159084796905517578125;0,000064373016357421875;0,00001609325408935546875)=0,000242710113525390625.
Agora \text{erro}^{(6)}<0,001. Critério de parada satisfeito.]

Passo 11

Conclusão e interpretação final:
  • A matriz A é estritamente diagonal dominante (logo Gauss–Seidel converge).
  • Após 6 iterações, obtivemos aproximação com erro máximo entre iterações <0,001. A solução aproximada (última iteração) é:
x^{(6)}\approx \begin{pmatrix} 0,3635888099670410\\[2pt] 0,4545143246650696\\[2pt] 0,4545328617095947\\[2pt] 0,3636332154273987 \end{pmatrix}.]

Resposta

x_1 \approx 0,363589
x_2 \approx 0,454514
x_3 \approx 0,454533
x_4 \approx 0,363633

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