Uma pessoa em dieta necessita diariamente as seguintes quantidades de vitaminas:
105 mg de vitamina A
90 mg de vitamina B
55 mg de vitamina C
65 mg de vitamina D
Ela deve suprir suas necessidades a partir do consumo de 4 alimentos diferentes que contém respectivamente, por unidade e em miligramas, as seguintes quantidades de vitaminas:
Vitamina A Vitamina B Vitamina C Vitamina D
Alimento 1 5 4 2 1
Alimento 2 1 4 1 2
Alimento 3 4 2 3 2
Alimento 4 5 2 2 3
Qual a quantidade de alimentos, em unidades, a ser ingerida pela pessoa de tal forma a atender a sua necessidade diária de vitaminas?
Para responder esta questão:
1.1) Formule matematicamente o problema como um sistema linear , para ;
1.2) Resolva, se possível, o problema pelo método de Gauss;
1.3) A partir dos valores numéricos obtidos pelo método de Gauss, determine as matrizes e relativas à matriz e resolva o sistema linear pelo método de Decomposição (ou de Gauss-Compacto), considerando uma outra pessoa cuja necessidade diária de vitaminas em mg é: 120 mg de vit, A; 90 mg de vit. B; 65 mg de vit. C e 55 mg de vitamina D.

Passo 1

O enunciado pede para determinar quantas unidades de cada um dos quatro alimentos satisfazem as necessidades diárias de vitaminas A (105 mg), B (90 mg), C (55 mg) e D (65 mg). O conteúdo é resolução de sistema linear A x=b por eliminação de Gauss e depois decomposição LU.

Passo 2

Denotando por x1,x2,x3,x4 as quantidades (em unidades) dos alimentos 1 a 4, o sistema A x=b é
5x1+1x2+4x3+5x4=105, 4x1+4x2+2x3+2x4=90, 2x1+1x2+3x3+2x4=55, 1x1+2x2+2x3+3x4=65

Passo 3

Aplicando eliminação de Gauss ao sistema acima, obtemos a matriz triangular superior e resolvemos por substituição regressiva:
x4&=10, x3&=5, x2&=10, x1&=5

Passo 4

Dos fatores usados na eliminação extraímos a decomposição A=LU. Com pivô 5 na primeira etapa usamos multiplicadores m21=0,8, m31=0,4, m41=0,2; na segunda etapa com pivô 3,2 usamos m32=0,1875, m42=0,5625; na terceira etapa com pivô 1,625 usamos m43=tfrac1513. Assim
L= 1 & 0 & 0 & 0 0,8 & 1 & 0 & 0 0,4 & 0,1875 & 1 & 0 0,2 & 0,5625 & tfrac1513 & 1 , U= 5 & 1 & 4 & 5 0 & 3,2 & -1,2 & -2 0 & 0 & 1,625 & 0,375 0 & 0 & 0 & tfrac3513

Passo 5

Para a segunda pessoa com demanda b'=(120,90,65,55)^T, resolvemos
Ly=b', Ux=y
Na substituição direta:
y1&=120, y2&=90-0,8cdot120=-6, y3&=65-0,4cdot120-0,1875cdot(-6)=18,125, y4&=55-0,2cdot120-0,5625cdot(-6)-tfrac1513cdot18,125=tfrac17513
Na substituição regressiva em U x=y:
x4&=5, x3&=10, x2&=5, x1&=10

Resposta

Para a primeira pessoa as quantidades são
(x1,x2,x3,x4)=(5,,10,,5,,10)
Para a segunda pessoa, usando a mesma matriz A mas com b'=(120,90,65,55)^T, as quantidades são
(x1,x2,x3,x4)=(10,,5,,10,,5)

Exercícios relacionados