Uma pessoa em dieta necessita diariamente as seguintes quantidades de vitaminas:
105 mg de vitamina A
90 mg de vitamina B
55 mg de vitamina C
65 mg de vitamina D
Ela deve suprir suas necessidades a partir do consumo de 4 alimentos diferentes que contém respectivamente, por unidade e em miligramas, as seguintes quantidades de vitaminas:
Vitamina A
Vitamina B
Vitamina C
Vitamina D
Alimento 1
5
4
2
1
Alimento 2
1
4
1
2
Alimento 3
4
2
3
2
Alimento 4
5
2
2
3
Qual a quantidade de alimentos, em unidades, a ser ingerida pela pessoa de tal forma a atender a sua necessidade diária de vitaminas?
Para responder esta questão:
1.1) Formule matematicamente o problema como um sistema linear , para ;
1.2) Resolva, se possível, o problema pelo método de Gauss;
1.3) A partir dos valores numéricos obtidos pelo método de Gauss, determine as matrizes e relativas à matriz e resolva o sistema linear pelo método de Decomposição (ou de Gauss-Compacto), considerando uma outra pessoa cuja necessidade diária de vitaminas em mg é: 120 mg de vit, A; 90 mg de vit. B; 65 mg de vit. C e 55 mg de vitamina D.
Passo 1
O enunciado pede para determinar quantas unidades de cada um dos quatro alimentos satisfazem as necessidades diárias de vitaminas A (105 mg), B (90 mg), C (55 mg) e D (65 mg). O conteúdo é resolução de sistema linear por eliminação de Gauss e depois decomposição .
Passo 2
Denotando por as quantidades (em unidades) dos alimentos 1 a 4, o sistema é
Passo 3
Aplicando eliminação de Gauss ao sistema acima, obtemos a matriz triangular superior e resolvemos por substituição regressiva:
x4&=10, x3&=5, x2&=10, x1&=5
Passo 4
Dos fatores usados na eliminação extraímos a decomposição A=LU. Com pivô 5 na primeira etapa usamos multiplicadores m21=0,8, m31=0,4, m41=0,2; na segunda etapa com pivô 3,2 usamos m32=0,1875, m42=0,5625; na terceira etapa com pivô 1,625 usamos m43=tfrac1513. Assim