Questão 3. vale 2 pontos. Localize uma raíz da equação
Escreva a expressão da sequência gerada pelo método de Newton para achar essa raíz.
3 ln (x)=raizx

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma aproximação de raiz da equação
3ln(x)=raizx
usando o método de Newton. Vamos primeiro localizar um intervalo onde existe raiz (usando o Teorema do Valor Intermediário) e depois montar a sequência de iteração de Newton.

Passo 2

Definimos
f(x)=3ln(x)-raizx
Calculamos
f(1)=3ln(1)-raiz1=-1<0,
f(2)=3ln(2)-raiz2approx2,079-1,414=0,665>0
Como f(1)<0 e f(2)>0, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos uma raiz em (1,2).

Passo 3

Calculamos a derivada de f:
f'(x)=ddxl(3ln(x)-raizxr) =3x-12raizx

Passo 4

O método de Newton dá a iteração
xn+1 =xn-f(xn)f'(xn) =xn-3ln(xn)-raizxn 3xn-12raizxn

Resposta

A equação tem uma raiz em (1,2).
A sequência de Newton é
xn+1 = xn -3ln(xn)-raizxn 3xn-12raizxn

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