Verifique as condições de convergência do método de Jacobi - Richardson para o sistema linear:
10 x1+x2-x3 & =12 x1+10 x2+x3 & =10 2 x1-x2+10 x3 & =-9
Resolva-o pelo método JR iniciando o processo iterativo com x^(0)=(x1 ^0, x2 ^0, x3 ^0)^T em que esse ponto inicial é uma escolha individual para cada aluno ou grupo. Utilize precisão varepsilon=O(10^-2).

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
e pede duas coisas: (i) verificar as condições de convergência do método de Jacobi–Richardson (JR) e (ii) aplicá-lo até uma precisão de ordem , com um chute à nossa escolha. O conteúdo aqui é iteração do tipo
onde é a matriz dos coeficientes, a parte diagonal e o parâmetro de Richardson.

Passo 2

Extraímos
então
O operador de iteração é
e o método converge se e somente se
Pelas faixas de Gershgorin, os autovalores de ficam aproximadamente em . Logo basta
para garantir .

Passo 3

Escolhemos o caso padrão tau=1 (que é o método de Jacobi puro). Como 1<1.54, a convergência está assegurada. As fórmulas iterativas ficam então
x1^(k+1) &=110l(12 - x2^(k) + x3^(k)r), x2^(k+1) &=110l(10 - x1^(k) - x3^(k)r), x3^(k+1) &=110l(-9 - 2,x1^(k) + x2^(k)r)

Passo 4

Como chute inicial tomamos
x^(0)=(0,0,0)^T
Definimos critério de parada pelo erro máximo
|,x^(k+1) - x^(k)|infty<10^-2

Passo 5

Calculamos as iterações até satisfazer o critério:
x^(1)&=(1.2,;1.0,;-0.9), x^(2)&=(1.01,;0.97,;-1.04), x^(3)&=(1.207,;1.003,;-1.005), x^(4)&=(1.2002,;0.9798,;-1.0411), x^(5)&=(1.20613,;0.98409,;-1.04206)
As diferenças |x^(5)-x^(4)|inftyapprox0.0059<0.01, então paramos em k=5.

Resposta

A condição de convergência é
0<tau<2rho(D^-1A)approx1.54,
e, para tau=1, o método converge. Com x^(0)=(0,0,0)^T e varepsilon=10^-2, a solução aproximada obtida foi
xapprox (1.206,;0.984,;-1.042)^T

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