Plote os gráficos das funções reais e verifique que elas possuem anuladores. Isole pelo menos um dos anuladores encontrados. Justifique.
f(x)=x+1-2 \operatorname{sen}(\pi x).

Passo 1

O enunciado nos dá a função real
f(x)=x+1-2\sin(\pi x)
e pede que:
  • se faça o gráfico (descrever o gráfico suficiente para ver raízes),
  • se verifique que a função possui anuladores (raízes),
  • e que se isole pelo menos um desses anuladores, com justificativa.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é a soma da reta x+1 com a função oscilante -2\sin(\pi x).
  • Não há mais dados numéricos; tudo será deduzido da fórmula.

Passo 2

Entendendo a forma do gráfico (como traçar sem calculadora): decompor a função em duas partes ajuda muito.
  • A parte linear é x+1. Essa é uma reta de declive 1 que intercepta o eixo y em 1.
  • A parte oscilante é -2\sin(\pi x). Essa é uma senoide com amplitude 2, período 2 (porque \sin(\pi x) tem período 2), e sinal invertido por causa do -.
    Portanto o gráfico de f é uma reta inclinada (a x+1) “ondulada” por cima/embaixo por uma senoide de amplitude 2. Intuitivamente: ao longo do eixo x a curva principal sobe com inclinação 1, mas sobre essa subida há oscilações de altura 2 para cima/baixo com período 2.
Observações úteis para esboçar:
  • Em cada ponto onde \sin(\pi x)=0 (isto é, x\in\mathbb{Z}), o valor de f é simplesmente f(n)=n+1.
  • Em pontos onde \sin(\pi x)=1 (isto é, x=\tfrac{1}{2}+2k), o valor é f\bigl(\tfrac{1}{2}+2k\bigr)=\tfrac{1}{2}+2k+1-2= \tfrac{1}{2}+2k-1.
  • Em pontos onde \sin(\pi x)=-1 (isto é, x=\tfrac{3}{2}+2k), o valor é f\bigl(\tfrac{3}{2}+2k\bigr)=\tfrac{3}{2}+2k+1+2= \tfrac{3}{2}+2k+3.
Esses valores nos dão uma malha de pontos a partir dos quais desenhar a curva ondulada sobre a reta.

Passo 3

Verificar raízes óbvias: testar inteiros.
Calcule f(n) para n\in\mathbb{Z}:
f(n)=n+1-2\sin(\pi n)=n+1-2\cdot 0 = n+1.
Assim f(n)=0 quando n+1=0, isto é, para n=-1. Logo
x=-1
é um anulador exato de f (uma raiz verificada diretamente pela fórmula).

Passo 4

Procurar mais raízes por troca de sinal (aplicando o Teorema do Valor Intermediário). Primeiro, observe que f é contínua em \mathbb{R} porque soma e composição de funções contínuas ( x\mapsto x+1 e \sin(\pi x)) são contínuas. Assim o Teorema do Valor Intermediário (TVI) vale: se f(a) e f(b) têm sinais opostos então existe c\in(a,b) com f\text{(c)}=0.
Avaliemos alguns pontos simples (já usados no esboço):
  • f(0)=0+1-2\sin(0)=1>0.
  • f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{1}{2}+1-2\sin\bigl(\pi\cdot\tfrac{1}{2}\bigr)=\tfrac{3}{2}-2\cdot 1=\tfrac{3}{2}-2=-\tfrac{1}{2}<0.
  • f(1)=1+1-2\sin(\pi)=2>0.
Portanto:
  • Como f(0)>0 e f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)<0, pelo TVI existe pelo menos um c_1\in\bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr) tal que f(c_1)=0.
  • Como f\bigl(\tfrac{1}{2}\bigr)<0 e f(1)>0, pelo TVI existe pelo menos um c_2\in\bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr) tal que f(c_2)=0.
Concluímos que além de x=-1 existem pelo menos duas raízes no intervalo (0,1): uma em (0,\tfrac{1}{2}) e outra em (\tfrac{1}{2},1).

Passo 5

Justificando a existência geral de anuladores e interpretando o esboço:
  • Como x+1 cresce indefinidamente quando x\to+\infty e tende a -\infty quando x\to -\infty, e -2\sin(\pi x) é limitado entre -2 e 2, a função f(x) também toma sinais positivos e negativos ao longo da reta: para x muito negativo f(x) é negativo (domina a parte linear), e para x muito positivo f(x) é positivo. Portanto há pelo menos uma raiz global — já encontramos várias.
  • O comportamento ondulado com período 2 mostra que em cada “ciclo” pode haver um, dois ou nenhum cruzamento com o eixo x, dependendo de como a reta desloca a senoide. Nos cálculos específicos acima encontramos cruzamentos em (0,\tfrac{1}{2}) e (\tfrac{1}{2},1); além disso x=-1 dá uma raiz exata.

Passo 6

Isolamento de um anulador (caso concreto): isolar x=-1 e justificar que é um zero simples (isolado).
  • Já vimos que f(-1)=0.
  • Calcule a derivada para verificar que a função não tem tangência horizontal ali (ou seja, é uma raiz simples):
f'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(x+1-2\sin(\pi x)\bigr)=1-2\pi\cos(\pi x).
Logo
f'(-1)=1-2\pi\cos(-\pi)=1-2\pi\cos(\pi).
Como \cos(\pi)=-1 temos
f'(-1)=1-2\pi(-1)=1+2\pi>0.
  • Como f'(-1)\neq 0, a reta tangente em -1 tem inclinação não nula; pela continuidade de f' existe um pequeno intervalo aberto (-1-\delta,-1+\delta) em que f' mantém sinal positivo, portanto f é estritamente crescente nesse intervalo. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo um zero nesse intervalo; como já existe f(-1)=0, esse zero é único em (-1-\delta,-1+\delta). Assim x=-1 é uma raiz isolada (raiz simples).
  • Em palavras amigáveis: a curva cruza o eixo x em -1 com inclinação positiva, então está “atravessando” o eixo e não ficando tocando nele — por isso podemos cercá-la por um pequeno intervalo que contém só essa raiz.

Passo 7

Resumo gráfico (como ficaria o esboço):
  • Desenhar a reta y=x+1.
  • Sobre essa reta, oscilar uma senoide de amplitude 2 e período 2, com pontos chave:
    • Em inteiros n a curva passa por (n,n+1).
    • Em x=\tfrac{1}{2} a função vale -\tfrac{1}{2} (ponto abaixo do eixo).
    • Em x=\tfrac{3}{2} a função vale \tfrac{3}{2}+1+2 = \tfrac{7}{2} (ponto bem acima).
  • No esboço aparecerão cruzamentos com o eixo: em x=-1 (exato) e pelo menos dois cruzamentos no intervalo (0,1) conforme mostrado.

Resposta

x=-1 é um anulador de f.
Existe pelo menos um anulador em \bigl(0,\tfrac{1}{2}\bigr).
Existe pelo menos um anulador em \bigl(\tfrac{1}{2},1\bigr).

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