Plote os gráficos das funções reais e verifique que elas possuem anuladores. Isole pelo menos um dos anuladores encontrados. Justifique.
.
Passo 1
O enunciado nos dá a função real
e pede que:
- se faça o gráfico (descrever o gráfico suficiente para ver raízes),
- se verifique que a função possui anuladores (raízes),
- e que se isole pelo menos um desses anuladores, com justificativa.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é a soma da reta
com a função oscilante . - Não há mais dados numéricos; tudo será deduzido da fórmula.
Passo 2
Entendendo a forma do gráfico (como traçar sem calculadora): decompor a função em duas partes ajuda muito.
- A parte linear é
. Essa é uma reta de declive que intercepta o eixo em . - A parte oscilante é
. Essa é uma senoide com amplitude , período (porque tem período ), e sinal invertido por causa do .
Portanto o gráfico deé uma reta inclinada (a ) “ondulada” por cima/embaixo por uma senoide de amplitude . Intuitivamente: ao longo do eixo a curva principal sobe com inclinação , mas sobre essa subida há oscilações de altura para cima/baixo com período .
Observações úteis para esboçar:
- Em cada ponto onde
(isto é, ), o valor de é simplesmente . - Em pontos onde
(isto é, ), o valor é . - Em pontos onde
(isto é, ), o valor é .
Esses valores nos dão uma malha de pontos a partir dos quais desenhar a curva ondulada sobre a reta.
Passo 3
Verificar raízes óbvias: testar inteiros.
Calcule para
:
Calcule
Assim
quando
, isto é, para
. Logo
é um anulador exato de
(uma raiz verificada diretamente pela fórmula).
Passo 4
Procurar mais raízes por troca de sinal (aplicando o Teorema do Valor Intermediário). Primeiro, observe que
é contínua em
porque soma e composição de funções contínuas (
e
) são contínuas. Assim o Teorema do Valor Intermediário (TVI) vale: se
e
têm sinais opostos então existe
com
.
Avaliemos alguns pontos simples (já usados no esboço):
Portanto:
- Como
e , pelo TVI existe pelo menos um tal que . - Como
e , pelo TVI existe pelo menos um tal que .
Concluímos que além de
existem pelo menos duas raízes no intervalo
: uma em
e outra em
.
Passo 5
Justificando a existência geral de anuladores e interpretando o esboço:
- Como
cresce indefinidamente quando e tende a quando , e é limitado entre e , a função também toma sinais positivos e negativos ao longo da reta: para muito negativo é negativo (domina a parte linear), e para muito positivo é positivo. Portanto há pelo menos uma raiz global — já encontramos várias. - O comportamento ondulado com período
mostra que em cada “ciclo” pode haver um, dois ou nenhum cruzamento com o eixo , dependendo de como a reta desloca a senoide. Nos cálculos específicos acima encontramos cruzamentos em e ; além disso dá uma raiz exata.
Passo 6
Isolamento de um anulador (caso concreto): isolar
e justificar que é um zero simples (isolado).
- Já vimos que
. - Calcule a derivada para verificar que a função não tem tangência horizontal ali (ou seja, é uma raiz simples):
Logo
Como
temos
- Como
, a reta tangente em tem inclinação não nula; pela continuidade de existe um pequeno intervalo aberto em que mantém sinal positivo, portanto é estritamente crescente nesse intervalo. Uma função estritamente crescente pode ter no máximo um zero nesse intervalo; como já existe , esse zero é único em . Assim é uma raiz isolada (raiz simples). - Em palavras amigáveis: a curva cruza o eixo
em com inclinação positiva, então está “atravessando” o eixo e não ficando tocando nele — por isso podemos cercá-la por um pequeno intervalo que contém só essa raiz.
Passo 7
Resumo gráfico (como ficaria o esboço):
- Desenhar a reta
. - Sobre essa reta, oscilar uma senoide de amplitude
e período , com pontos chave: - Em inteiros
a curva passa por . - Em
a função vale (ponto abaixo do eixo). - Em
a função vale (ponto bem acima).
- Em inteiros
- No esboço aparecerão cruzamentos com o eixo: em
(exato) e pelo menos dois cruzamentos no intervalo conforme mostrado.
Resposta
Existe pelo menos um anulador em
Existe pelo menos um anulador em