Pode ser usada para gerar a seguinte tabela de dados desigualmente espaçados:
x 0 0,1 0,3 0,5 0,7 0,95 1,2
f(x) 1 0,9048 0,7408 0,6065 0,4966 0,3867 0,3012
Calcule a integral de a=0 até b=1,2 :
c) Combinação das regras do trapézio e de Simpson sempre que possível para obter uma melhor precisão. Para cada estimativa numérica de b) e c), calcule o erro relativo percentual com base em a).

Passo 1

Beleza, o que temos aqui é uma tabela de pontos (x,f(x)) não uniformemente espaçados de uma função que, olhando os valores, é
f(x)=e^-x,
O objetivo é calcular a integral
I=integral0^1.2e^-x,dx
de três jeitos:
a) valor exato (vou fazer isso pra referência);
b) regra composta do trapézio usando TODOS os subintervalos;
c) combinar regra do trapézio e de Simpson sempre que der pra ganhar precisão.
Depois, para (b) e ©, a gente calcula o erro relativo percentual em relação ao valor exato de (a).

Passo 2

Primeiro, a parte teórica:
integral e^-x,dx = -e^-x + C,
Logo, de 0 a 1.2:
Irm exato=l[-e^-xr]0^1.2 = l(-e^-1.2r)-l(-e^0r) = 1 - e^-1.2approx 1 - 0.3011942 = 0.6988058,

Passo 3

Regra composta do trapézio com subintervalos de comprimentos hi qualquer:
Irm trap=sumi=1^n hi2l(f(xi-1)+f(xi)r),
Aqui temos 6 subintervalos:
- h1=0.1, h2=0.2, h3=0.2, h4=0.2, h5=0.25, h6=0.25.
Calculando cada termo e somando dá
Irm trapapprox0.09524+0.16456+0.13473+0.11031+0.11041+0.08599 = 0.70124,

Passo 4

Agora a combinação trapézio / Simpson. A ideia é usar Simpson onde tivermos dois intervalos de mesma largura consecutivos, e trapézio pros restos.
  • De 0to0.1: só dá pra trapézio: T1=0.11+0.90482=0.09524
    - De 0.1to0.5 temos três pontos em espaçamento h=0.2 (0.1,0.3,0.5), então aplico Simpson:
    S1=0.23l(f(0.1)+4f(0.3)+f(0.5)r)=0.23(0.9048+4cdot0.7408+0.6065)approx0.29830
  • De 0.5to0.7: trapézio com h=0.2: T2=0.20.6065+0.49662=0.11031
    - De 0.7to1.2 (0.7,0.95,1.2) h=0.25, cabe Simpson:
    S2=0.253l(f(0.7)+4f(0.95)+f(1.2)r)=0.253(0.4966+4cdot0.3867+0.3012)approx0.19538
Somando tudo:
Irm comb=T1+S1+T2+S2approx0.09524+0.29830+0.11031+0.19538=0.69923,

Passo 5

Erro relativo percentual em relação a Irm exato=0.6988058 é
ER% = |Irm num-Irm exato|Irm exatotimes100%,
- Para trapézio:
|0.70124-0.6988058|/0.6988058approx0.348%,
  • Para combinação: |0.69923-0.6988058|/0.6988058approx0.061%,

Resposta

Valor exato (a): I=0.6988058.
(b) Trapézio composto: 0.70124, erro approx0.35%.
© Combinação trapézio / Simpson: 0.69923, erro $\approx0.06%$.

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