Pode ser usada para gerar a seguinte tabela de dados desigualmente espaçados:
|
0 | 0,1 | 0,3 | 0,5 | 0,7 | 0,95 | 1,2 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
|
1 | 0,9048 | 0,7408 | 0,6065 | 0,4966 | 0,3867 | 0,3012 |
Calcule a integral de
até
:
c) Combinação das regras do trapézio e de Simpson sempre que possível para obter uma melhor precisão. Para cada estimativa numérica de b) e c), calcule o erro relativo percentual com base em a).
c) Combinação das regras do trapézio e de Simpson sempre que possível para obter uma melhor precisão. Para cada estimativa numérica de b) e c), calcule o erro relativo percentual com base em a).
Passo 1
Beleza, o que temos aqui é uma tabela de pontos
não uniformemente espaçados de uma função que, olhando os valores, é
O objetivo é calcular a integral
de três jeitos:
a) valor exato (vou fazer isso pra referência);
b) regra composta do trapézio usando TODOS os subintervalos;
c) combinar regra do trapézio e de Simpson sempre que der pra ganhar precisão.
Depois, para (b) e ©, a gente calcula o erro relativo percentual em relação ao valor exato de (a).
a) valor exato (vou fazer isso pra referência);
b) regra composta do trapézio usando TODOS os subintervalos;
c) combinar regra do trapézio e de Simpson sempre que der pra ganhar precisão.
Depois, para (b) e ©, a gente calcula o erro relativo percentual em relação ao valor exato de (a).
Passo 2
Primeiro, a parte teórica:
Logo, de
Passo 3
Regra composta do trapézio com subintervalos de comprimentos
qualquer:
Aqui temos 6 subintervalos:
-
Calculando cada termo e somando dá
Passo 4
Agora a combinação trapézio / Simpson. A ideia é usar Simpson onde tivermos dois intervalos de mesma largura consecutivos, e trapézio pros restos.
- De
: só dá pra trapézio:
- Detemos três pontos em espaçamento (0.1,0.3,0.5), então aplico Simpson:
- De
: trapézio com :
- De(0.7,0.95,1.2) , cabe Simpson:
Somando tudo:
Passo 5
Erro relativo percentual em relação a
é
- Para trapézio:
- Para combinação:
Resposta
Valor exato (a):
.
(b) Trapézio composto: , erro
.
© Combinação trapézio / Simpson: , erro $\approx0.06%$.
(b) Trapézio composto:
© Combinação trapézio / Simpson: